Funktions Untersuchung von x² * e^x

1.D=R; W=R+(mit 0)
2.f(x)=e^x*x² ungleich x²*e^(-x)=f(-x)
f(x)=e^x*x² ungleich -x²*e^-x=-f(-x)
-->keine einfache symmetrie. sonstige symmetrie ist auch nicht vorhanden

3.f(0)=0²*e^0=0-->schnittpunkt mit der y-achse: P(0|0)
f(x)=0
x²*e^x=0<=>x²=0
-->doppelte nullstelle (extremstelle) bei x=0

4.da definitionsbereich D=R ist,
muss das verhalten im unendlichen untersucht werden

x²*e^x geht für x-->unendlich gegen unendlich

da e^x stärker als x² konvergiert, geht f(x) für x-->-unendlich gegen 0.
-->y=0 ist die waagerechte asympote (sonstige asymptoten sind nicht vorhanden)

5.f`(x)=(2x+x²)e^x
f``(x)=e^x(x²+4x+2)
f```(x)=e^x(x²+6x+6)

f`(x)=0
(2x+x²)e^x=0<=>2x+x²=0<=>x(2+x)=0<=>x1=0 und x2=-2

f``(0)=2>0-->x1=0 ist ein minimum

f``(-2)=-2/e²<0-->x2=-2 ist ein maximum

f(0)=0-->T(0|0) ist ein teifpunkt

f(-2)=4/e²-->H(2|4/e²) ist ein hochpunkt

7.f``(x)=0
e^x(x²+4x+2)=0<=>x²+4x+2=0<=>x1=-2+2^(1/2) und x2=-2-2^(1/2)

f```(-2-2^(1/2))<0-->x2=-2-2^(1/2) ist wirklich eine wendestelle
f```(-2+2^(1/2))>0-->x1=-2+2^(1/2) ist auch eine wendestelle

f(-2-2^(1/2))~0,384
f(-2+2^(1/2))~0,191

8.in welchem intervall?

von -unendlich bis +unendlich existiert das intervall wegen dem grenzverhalten nicht

"1) evtl von NS zu NS ?"

problem: hier gibts nur eine.

was man noch untersuchen könne ist, ob der grenzwert von integral von a bis 0 [x²*e^x]dx für a-->-unendlich existiert. der frenzwert von 0 bis b für b-->unendlich kann wegen dem grenzverhalten nicht existieren.

eine stammfunktion zu f ist F(x)=e^x*(x²-2x+2)

F(0)-F(a)=2-[e^a(a²-2a+2)]

lim(a-->-unendlich)(2-[e^a(a²-2a+2)])=2-lim(a-->-unendlich)[e^a(a²-2a+2)]=
2-0=2

trotzdem müsste die frage genauer gestellt werden. man kann ja auch den flächeninhalt zwischen graph von f und x-achse in [0;2] z.b. bestimmen