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Stochastik - Glücksrad

Frage: Stochastik - Glücksrad
(5 Antworten)


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Hallo, da wegen der Coronakrise unser Unterrichtentfällt, müssen wir uns einiges selber erarbeiten.
Nun stecke ich bei einem Beispiel in Mathematik-Stochastik

Glücksrad
Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand beim Glücksrad mindestens 50 000€ gewinnt beträgt ungefähr 7,8%.
Berechnen Sie, wie viele Personen drehen müssen, damit mit mindestens 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens 1-mal ein Betrag dieser Höhe ausbezahlt werden muss.

Ich muss mir hierbei wohl "n" berechnen, liege ich da richtig? Aber wie mach ich das konkret? Uns wurde gesagt, dass die Aufgaben sowohl handschriftlich als auch mit Geogebra zu bearbeiten sind.

Liebe Grüße und danke
Frage von starstern | am 16.03.2020 - 11:33


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102		 Antwort von v_love | 16.03.2020 - 15:28
Zunächst mal halten wir fest, dass die Zufallsvariable X: Anzahl der Personen, die 50000Euro gewinnen binomialverteilt ist mit der Wahrscheinlichkeit p=0.078 und dem unbekannten Stichprobenumfang n, d.h. die Wahrscheinlichkeit P(X=k), dass k Personen, 50000Euro gewinnen is gegeben durch

P(X=k)=(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k).
Wir wissen laut Aufgabentext, dass P(X>=1)>=0.9 sein soll.
Außerdem halten wir fest, dass "mindestens 1..." das Gegenereignis ist zu "keins ...", deshalb gilt:
1-P(X=0)=P(X>=1)>=0.9
Zusammen mit obiger Formel für P(X=k) ergibt sich
1-(1-p)^(n-0)>=0.9

Der Rest sind elementare Umformungen. Was ist 1-0.9?


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2103		 Antwort von matata | 16.03.2020 - 13:57
Hier gibt es eine ganze Lerneinheit zum Thema Wahrscheinlichkeiten

https://www.mathe-online.at/nml/materialien/SkriptumBlaha/KAP-15.pdf

Und hier wird deine Aufgabe erklärt

https://www.mathago.at/wp-content/uploads/2019/06/A_023.pdf
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1		 Antwort von starstern | 16.03.2020 - 14:04
Mein Beispiel ist von der Seite Mathago, danke, die Lösung habe ich. Hätte mir nur gedacht, dass es hier jemanden gibt, der diese Aufgabe unkompliziert erklären kann - im Gegensatz zu den Internetseiten, die ich selber gefunden habe.


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2103		 Antwort von matata | 16.03.2020 - 14:16
Hast du das Prinzip eines Baumdiagramms verstanden? Weisst du, von welchen Überlegungen die einzelnen Zahlen und Rechenschritte herrühren in diesem Lösungsvorschlag? Was verstehst du nicht in dieser Lösung?
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1		 Antwort von starstern | 16.03.2020 - 14:37
Mein Baumdiagramm wäre ja, schriftlich festgehalten:
0.078 (7,8%) für den Gewinn von 50.000€ und 0.922 (92,2%) für keinen Gewinn von 50.000€

Die Lösung ist ja laut Mathago:
1 – 0.922^n ≥ 0.9
0.922^n ≤ 0.1
n ≥ ln(0.1) / ln(0.922) = 28.35

Die erste Zeile verstehe ich noch zum Teil, aber warum hoch "n"?
In der zweiten Zeile dasselbe, und woher kommen die 0.1?
Letzte Zeile erklärt sich meinerseits nur so, dass man durch den "ln" das "n" herunterbekommt. Aber warum überhaupt das "n" hochgestellt ist erklärt sich mir genausowenig, wie das 0.1…


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102		 Antwort von v_love | 16.03.2020 - 15:28
Zunächst mal halten wir fest, dass die Zufallsvariable X: Anzahl der Personen, die 50000Euro gewinnen binomialverteilt ist mit der Wahrscheinlichkeit p=0.078 und dem unbekannten Stichprobenumfang n, d.h. die Wahrscheinlichkeit P(X=k), dass k Personen, 50000Euro gewinnen is gegeben durch

P(X=k)=(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k).
Wir wissen laut Aufgabentext, dass P(X>=1)>=0.9 sein soll.
Außerdem halten wir fest, dass "mindestens 1..." das Gegenereignis ist zu "keins ...", deshalb gilt:
1-P(X=0)=P(X>=1)>=0.9
Zusammen mit obiger Formel für P(X=k) ergibt sich
1-(1-p)^(n-0)>=0.9

Der Rest sind elementare Umformungen. Was ist 1-0.9?

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