Stochastik: Lösung zu dieser Aufgabe ?

Hallo ihr Mathe-Begabten da draußen ;)

Also, es geht ums Thema Wahrscheinlichkeit.
Ich habe jetzt schon einige Aufgaben gerechnet, paar waren richtig, paar waren falsch. Und da ich in Mathe nicht besonders gut bin (bzw. knapp am Unterkurs vorbei ...) hab ich keine Ahnung ob die stimmt, oder nicht. Es ist eine Aufgabe aus einer alten Klausur von einem älteren Schüler und daher hab ich keine Lösung dazu. Meinen Lehrer kann ich aber nicht fragen, weil dieser andere Schüler den gleichen hatte und ich die Hoffnung habe, dass diese Aufgabe auch in unserer Klausur drankommt. ;)

Also, die Aufgabe lautet: In einem Gefäß G1 sind 6 schwarze und 4 weiße Kugeln. In einem Gefäß G2 sind 3 schwarze und 7 weiße Kugeln. Aus G1 werden nun 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?

Mein Ansatz: Ich habe jetzt erstmal ausgerechnet, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, 2 schwarze, 2 weiße und 1 schwarze und 1 weiße Kugel aus G1 zu ziehen (das sind ja alle Möglichkeiten, die es gibt). Als Ergebnis habe ich dann: 2x S -> 1/3; 2x W -> 2/5 und für S&W -> 4/15.
Dann habe ich für alle diese Möglichkeiten ausgerechnet, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, aus G2 eine schwarze zu ziehen. Also ursprünglich sind in dem Gefäß ja 3 schwarze und 7 weiße drin. Also habe ich mit 5 schwarzen und 7 weißen gerechnet (=5/12), mit 9 weißen und 3 schwarzen (=3/12) und mit 4 schwarzen und 8 weißen (=4/12).
Danach habe ich die Ergebnisse aus G1 mit denen von G2 multipliziert (wegen nacheinander ziehen) und mit den anderen Möglichkeiten addiert. Also: (1/3*5/12)+(2/5*3/12)+(4/15*4/12)
= 5/36 + 6/60 + 16/180
= 25/180 + 18/180 + 16/180
= 59/180
≈ 0,328 = 32,8%

Ich hab nur leider keine Ahnung, ob überhaupt der Ansatz richtig war oder ob man das ganz anders löst ...
Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte! :)

LG MmeAbi16