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DGL 3.Ordnung

Frage: DGL 3.Ordnung
(2 Antworten)


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1
Guten Abend,

ich habe ein kleines Problem.
Es geht um die DGL 3. Ordnung :
y```+2y``=1+2x

Hier geht es um eine inhomogene Gleichung, die linke Seite habe ich mit dem Ansatz : y(x)=e^(ax) gelöst, bis zur 3.Ableitung abgeleitet.
Der Ansatz für die rechte Seite wäre y(x)=A+Bx. Die Ableitungen hierfür wären:
y`(x)=B y``(x)=0 und y```(x)=0 . Setze ich das in die DGL ein, erhalte ich:
0+2*0=1+2x....wie gehe ich daran? Wie kann ich A bzw. B lösen wenn 0=1+2x steht?
Vielen Dank im voraus!

Lg,
Frage von Kathi_K | am 25.10.2015 - 23:46


Autor
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3
Antwort von R3XAN | 27.10.2015 - 21:31
Huhu Kathi,

du hast einen kleinen aber hier KATASTROPHALEN Fehler gemacht...
So wie es mir scheint hast du keine homogene Lösung bestimmt, bzw. die Eigenwerte der homogenen DGL y```+2y``=1+2x einfach ignoriert.

Damit wählst du den falschen Störgliedansatz (Ansatz der rechten Seite).

Hier hab ich alles ausführlich auf Papier gerechnet da ich keine Lust hatte zu tippen (ich hoffe du kannst alles lesen *g*):

1. Seite:
Homogene Lösung aufgrund der Eigenwerte der homogenen DGL bestimmen. (deine rechte Seite einfach =0 setzen)



2. Seite:
Partikuläre Lösung bestimmen. Hier hast du einen Fehler gemacht. Dein Ansatz für den Störterm ist falsch. Richtig ist die Art des gewählten Ansatzes (Polynomansatz). Deine homogene DGL hat aber die 3 Eigenwerte 0, 0, -2.
Damit hast du eine 2 Fache Resonanz für deinen Polynomansatz, da der Polynomansatz den Eigenwert 0 hat und du diesen schon 2 mal in der homogenen Lösung hast! Damit ist der Ansatz A+Bx nicht korrekt! Der Ansatz muss lauten (A+Bx)*x^2! Damit wird deine 2. und 3. Ableitung auch nicht 0, sondern yp``=2A+6Bx und yp```=6Bx!
Damit kommst du nach einsetzen in die DGL auf 6B+4A+6Bx=1+2x.

Jetzt einfach sortieren: Konstanten zu Konstanten und x zu x:
-> (6B+4A)+12Bx=1+2x

Nun baust du dir mittels Koeffizentenvergleich (alles betrachten was nicht A oder B ist) ein LGS:

Links ohne x: 6B+4A
Rechts ohne x: 1
-> 6B+4A = 1

Links mit x: 12Bx
Rechts mit x: 2x
-> 12Bx=2x
12Bx=2x |:x
12B = 2 |:2
6B = 1 |:6
B = 1/6

So nun einfach B in die 1. Gleichung einsetzen:

6B+4A=1
6*1/6+4A=1 //6B+4A muss 1 ergeben!
1+4A=1 |-1 //Hoppla da steht ja 1+4A=1... 1+was ergibt 1?
4A=0 |:4
A=0

Damit ist yp=(x^3)/6



So jetzt schreibst das ganze zusammen für die allgemeine Lösung:

ya=yh+yp

FERTIG!



Ich hoffe du hast alles verstanden. Sonst einfach nochmal fragen.

Gruß
R3XAN/Daniel


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1
Antwort von Kathi_K | 31.10.2015 - 14:33
Hey Daniel,

tatsächlich, das habe ich nicht beachtet.
Vielen vielen Dank! :)

Gruß,
Kathi

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