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Ungleichungen (Betrag, Bruch)

Frage: Ungleichungen (Betrag, Bruch)
(21 Antworten)


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Falls man das Bild nicht sehen sollte, hier nochmal der Link:

imgur.com

1.) Kam mir bis dato nicht vor, dass man Bruch und einen Betrag hat.
Ich habe die Betragsstriche erstmal weggelassen, dann hätte ich x-2 ≤ 1/(x+1) für x alle Elemente aus R (2, -1). Dann versuchen X und die Konstanten zu verteilen und da ist auch schon das Problem.

x ≤ 1/(x+1) + 2 -> Jetzt *(x+1), dann hätte man x*(x+1)?
Wie geht man vor? Muss man außerdem noch diese Fallunterscheidungen machen?

2.) Rätsel ich auch noch ein wenig..
Frage von fierce | am 24.10.2015 - 19:22


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Antwort von Mathe3 | 25.10.2015 - 17:35
Zitat:
g1(x) doppelt so groß, sprich der Graph zieht sich nach rechts mit den gleichen Y Werten, aber den doppelten X-Werten (ungefähre Zeichnung)
Die x-Werte bleiben unverändert.
Die y-Werte ändern sich.
Zitat:
g2(x) = f(x/2). Was genau besagt es, wenn 1/2 im Argument von x ist
Probiere mal einige Werte aus und gucke was passiert.;)
Ist zum Beispiel der Bereich von g2, auf dem g2 definiert ist im Vergleich zu f anders?
Zitat:
g3 = f(x+2)
Ein paar Beispiele: g3(0)=f(2), g3(2)=f(4),g3(-2)=f(0).
Denn Du setzt ja bei beiden die gleichen x Werte ein g3(x)=f(x+2).
Zitat:
g4 = f(-x) sprich die Reflektion über die Y-Achse
g4(x)=f(-x).
Kann sein, dass Du das richtige meinst. Ich hätte es mit Spiegelung bezeichnet, aber bin mir gerade nicht sicher, wie das korrekt heißt.
Zitat:
g5 = f(x) +2 (hier y Achse um 2 nach oben verschoben)
g5(x)=f(x)+2
Hier verschiebst Du die Funktionswerte um 2 nach oben. Du lässt die y Achse ja eigentlich da, wo sie ist. (Bzw. wenn Du den Graphen an der gleichen Stelle lassen willst, verschiebst Du die y-Achse ja sogar um 2 nach unten, aber das verwirrt glaube ich eher.)
Zitat:
g6 = 1/f(x) (umgekehrter Graph?)
Was meinst Du mit umgekehrter Graph? Einfach mal ausprobieren. Allerdings gibt es da ja zwei Stellen, an denen der Graph nicht definiert ist.


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Antwort von Mathe3 | 24.10.2015 - 19:42
1) Ja Du musst eine Fallunterscheidung machen und solltest auch nicht einfach so den Betrag weglassen. Achtung explizit hinschreiben, dass gilt x ungleich -1.
1. Fall x>=2
2. Fall x<2.
Bei x<2 entsprechend lx-2l=(-1)(x-2)=-x+2.
Naja dann ganz normal umformen. Es wird auf eine quadratische Ungleich hinauslaufen.
Dann über p-q-Formel oder quadratische Ergänzung die x bestimmen, für die es gleich ist.
Wenn die Lösungen a und b sind, ist das Intervall [a,b], für dass die Ungleichung gilt.
2)
Was ist eigentlich f? Das ist von Deinem Foto nicht erkenntlich. Aber ansich sollte es nicht problematisch sein, wenn Du f kennst, g1 bis g6 zu zeichnen.


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Antwort von fierce | 24.10.2015 - 19:50
Bedanke mich erstmal für die Antwort. So habe ich es auch verstanden, jedoch fehlte mir der genaue Ansatz.

-x+2 ≤ 1/(x+1) --> -x(x+1) ≤ -1 --> -x2 -x ≤ -1

-x2-x+1 = 0? Passt das so?


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Antwort von Mathe3 | 24.10.2015 - 19:59
Zitat:
-x+2 ≤ 1/(x+1) --> -x(x+1) ≤ -1 --> -x2 -x ≤ -1
-x+2≤1/(x+1) --> -x(x+1)+2(x+1)≤1 --> (Klammern auflösen) --> ...-1≤0
Dann
...-1=0 für den einen Punkt.
Dann p-q-Formel oder quadratische Ergänzung nutzen.
Das selbe noch mit dem ersten Fall und x>=2.


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Antwort von fierce | 24.10.2015 - 20:19
-x(x+1)+2(x+1)≤1

-x2-x +2x +2 ≤ 1 --> -x2 +x+2 ≤ 1 /-1 --> -x2 + x +1 = 0 / :(-1)

x2 - x -1 = 0

x1 = 1+√5 / 2 und x2 = 1-√5 / 2

Passt das soweit?

x>=2 --> x+2 = 1/x+1 oder?


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Antwort von Mathe3 | 24.10.2015 - 20:27
Ah stimm ein Fehler kommt auch von mir: Es gibt insgesamt 4 Punkte, an denen Gleichheit herrscht.
Und Du hast x²-x-1=0 in der form x²+px+q
mit :
x1,2=-p/2+-Wurzel((p/2)²-q).
p = -1 und q = -1.
Also passt das noch nicht ganz. Also Wurzel(5)/2 den Anteil habe ich auch soweit.
Ok und zu meiner Korrektur:
Für den Bereich [x1,x2] müsste für x Element von [x1,x2] die Ungleichung gelten.
Analog für den 2. Fall. Aber bitte zur Sicherheit noch nachkontrollieren, ob das wirklich zwischen diesen Bereichen ist und sollte x1>x2 gelten, wähle als Intervall [x2,x1].


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Antwort von fierce | 24.10.2015 - 20:31
Inwiefern passen die Bereiche x1 und x2 nicht? Habe ich es falsch umgestellt? Ich habe die Form genauso mit der pq Formel berechnet, verzeih mir, falls ich nicht ganz mitkomme hehe und ja x1> x2, wenn ich die pq Formel mit x2-x-1 einsetze sprich x1 = 1+√5 und x2 = 1-√5


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Antwort von Mathe3 | 24.10.2015 - 20:37
Das mit dem Intervall hier an beliebigen Zahlen:
Nein das sollte soweit passen und man könnte das Intervall [5,2] komisch verstehen. Das soll aber die selbe Bedeutung wie [2,5] haben.
Sorry: Abgeändert mit Korrektur:
Also Du hast ja als Lösungen 1/2 + Wurzel(5)/2=(Wurzel(5)+1)/2 und
1/2-Wurzel(5/2)=(1-Wurzel(5))/2.
Das einzige, wo Du noch aufpassen musst:
x = -1 ist nicht definiert auf der einen Seite der Gleichung. (Ok eventuell könnte man trotzdem eine Begründung schreiben, wenn man unendlich zulässt.)
Das zweite ist: x<2 haben wir gesetzt.
Also nur:
[(1-Wurzel(5))/2,-1[ und ]-1,2[.
So hoffe ich habe nun alle Fehler von mir gefunden.
(Statt [a,b[ kann man auch [a,b) schreiben.)
Klar das Ganze dann noch für den zweiten Fall.


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Antwort von fierce | 24.10.2015 - 20:48
Du hast es jetzt in der Form [x2, x1] übernommen, hmm..

Ich kann deine Intervalle nicht ganz nachvollziehen.

Denn deine Form: [1-Wurzel(5),-1[ und ]-1,2[ -> fehlt nicht der Bruch und was besagt [und]?

Für den 2. Fall: x>=2 --> x+2 = 1/x+1 --> x(x+1) +2(x+1) ≤ 1
x2+x+2x+2 ≤ 1 --> x2+3x+1 = 0

x1 = -3+√5 / 2 und x2 = -3-√5 / 2

Irgendwie fehlt was..


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Antwort von Mathe3 | 24.10.2015 - 20:52
Zitat:
[1-Wurzel(5),-1[ und ]-1,2[

Genau den Bruch habe ich vergessen sorry.
Und ok Du findest das etwas komisch aufgeschrieben.
So besser:
[1-Wurzel(5),-1) und (-1,2)
Und ja wenn man konkrete Zahlen hat, kann man die kleinere Zahl ja links stehen haben und die größere Zahl ja rechts. Man stellt sich ja quasi den Zahlenstrahl vor. So kann man dann auch die Zahlen für das Intervall gleich sortieren.
Ergänzung:
Zu dem zweiten Fall:
Zitat:
x+2 = 1/x+1

Wieso x+2? In der Aufgabenstellung steht doch x-2. Nun hast Du ja nicht den Fall x<2 und musst (-1)(x-2) rechnen.


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Antwort von fierce | 24.10.2015 - 21:00
Ah, hatte |x+2| in Erinnerung, mein Fehler.

für x<2 -> -1 (x-2)

für x>=2 -> x-2 = 1/(x+1)

Zusammengefasst: x2-x-3 = 0

x1 = 1+√13 / 2 und 1-√13 / 2

Hoffe, dass ich nicht wieder ein Fehler gemacht habe -_-


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Antwort von Mathe3 | 24.10.2015 - 21:04
Zitat:
1+√13 / 2 und 1-√13 / 2

wenn Du (1+√13)/2 und (1-√13)/2 hast, sollte das so stimmen.


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Antwort von fierce | 24.10.2015 - 21:07
Schreibt man das L {x1 , x2} bzw. {x2, x1}, sprich die Lösung mit dieser Schreibweise jeweils für beide Fälle?


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Antwort von Mathe3 | 24.10.2015 - 21:13
L={x ∈ ℝ | x1<x<x2 v x3 < x < x4}
Bzw. "<=" und nicht nur "<". "v" ist das oder Zeichen. Also am Ende hast Du ja 2 Intervalle raus.


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Antwort von fierce | 24.10.2015 - 21:21
Könntest du bitte als letztes die Intervalle in die Lösungsmenge einsetzen?

Ich sehe immernoch nicht den Unterschied zwischen dem, was ich raus habe und deins:

1+√5 / 2 und 1-√5 / 2 wobei du geschrieben hast:

[1-Wurzel(5) /2,-1) und (-1,2)

Den 2. Fall haben wir beide ja das gleiche, aber die Schreibweise für beide Fälle ist noch verwirrend -_-


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Antwort von Mathe3 | 24.10.2015 - 21:30
Ok sorry sehe gerade ich habe mich 2 mal verrechnet.
Die Lösung ist einfach nur
[(1-Wurzel(5))/2,(1+Wurzel(5))/2].
Man hätte sich nur Gedanken machen müssen, wenn x=-1 wäre oder man Bereiche hat, die dem Fall widersprechen.
Also insgesamt könnte L=[(1-Wurzel(5))/2,(1+Wurzel(5))/2] reichen.
Es könnte aber auch sein, dass Ihr schreiben sollt:
L1={x ε ℝ | (1-Wurzel(5))/2 <= x <= (1+Wurzel(5))/2}.
Ich habe es L1 genannt, weil es ja nur die Lösungsmenge des einen Falls ist.


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Antwort von fierce | 24.10.2015 - 21:50
Wie sieht es mit dem 2. Fall aus für x>=2?

Danke dir für deine Zeit, ich schätze es. Bezüglich Aufgabe 2, kann man nichts vom unteren Graphen ableiten, um g(x) zu bestimmen oder muss die explizite funktion f(x) gegeben sein?


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Antwort von Mathe3 | 24.10.2015 - 22:53
Versuche einfach den 2. Fall.;) Wir waren ja schon recht weit.
Achso ich dachte der Graph wäre Deine Skizze oder so. Wenn der Graph zur Aufgabenstellunge gehört, dann hilft er Dir.
g_1 ist zum Beispiel das 2 Fache von f. Also ist der Abstand von der x-Achse für jeden Punkt doppelt so groß.
Versuche g_2 bis g_6 selber zu erkennen, was das bedeuten soll.
g_3 und g_6 kann man nicht lesen.


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Antwort von fierce | 25.10.2015 - 11:36
g1(x) doppelt so groß, sprich der Graph zieht sich nach rechts mit den gleichen Y Werten, aber den doppelten X-Werten (ungefähre Zeichnung)

g2(x) = f(x/2). Was genau besagt es, wenn 1/2 im Argument von x ist, genauso bei g3 = f(x+2), g4 = f(-x) sprich die Reflektion über die Y-Achse, g5 = f(x) +2 (hier y Achse um 2 nach oben verschoben) und g6 = 1/f(x) (umgekehrter Graph?)

Bedanke mich nochmals im Voraus.


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Antwort von Mathe3 | 25.10.2015 - 17:35
Zitat:
g1(x) doppelt so groß, sprich der Graph zieht sich nach rechts mit den gleichen Y Werten, aber den doppelten X-Werten (ungefähre Zeichnung)
Die x-Werte bleiben unverändert.
Die y-Werte ändern sich.
Zitat:
g2(x) = f(x/2). Was genau besagt es, wenn 1/2 im Argument von x ist
Probiere mal einige Werte aus und gucke was passiert.;)
Ist zum Beispiel der Bereich von g2, auf dem g2 definiert ist im Vergleich zu f anders?
Zitat:
g3 = f(x+2)
Ein paar Beispiele: g3(0)=f(2), g3(2)=f(4),g3(-2)=f(0).
Denn Du setzt ja bei beiden die gleichen x Werte ein g3(x)=f(x+2).
Zitat:
g4 = f(-x) sprich die Reflektion über die Y-Achse
g4(x)=f(-x).
Kann sein, dass Du das richtige meinst. Ich hätte es mit Spiegelung bezeichnet, aber bin mir gerade nicht sicher, wie das korrekt heißt.
Zitat:
g5 = f(x) +2 (hier y Achse um 2 nach oben verschoben)
g5(x)=f(x)+2
Hier verschiebst Du die Funktionswerte um 2 nach oben. Du lässt die y Achse ja eigentlich da, wo sie ist. (Bzw. wenn Du den Graphen an der gleichen Stelle lassen willst, verschiebst Du die y-Achse ja sogar um 2 nach unten, aber das verwirrt glaube ich eher.)
Zitat:
g6 = 1/f(x) (umgekehrter Graph?)
Was meinst Du mit umgekehrter Graph? Einfach mal ausprobieren. Allerdings gibt es da ja zwei Stellen, an denen der Graph nicht definiert ist.


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Antwort von fierce | 25.10.2015 - 21:47
So, habe diese alle in dem Graphen eingezeichnet. Wenn du interesse hast, lade ich es auch hier hoch, um es dir anzusehen. Möchte ungern mehr von deiner Zeit nehmen hehe

Eine letzte Frage: Wie bildet man die Fallunterscheidung? Du hast geschrieben:

1. Fall x>=2
2. Fall x<2.

Wie kommst du auf diese 2? Basiert es auf der "-2" von |x-2|? Auf was bezieht man diese Fallunterscheidung genau? So, dass der Betrag einerseits positiv und anderseits negative wird? Für x>=2 hat man mindestens 0 und höher. Für x<2 hat man eine negative Zahl (deswegen die (-1)*(x-2)). Das ist hoffentlich die allerletzte Frage.

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