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1. Ableitung und Differenzialrechnung

Frage: 1. Ableitung und Differenzialrechnung
(5 Antworten)


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Guten Tag liebes Forum,

in Mathematik haben wir zurzeit die 1.
Ableitung und Differenzialrechnung. Unser Lehrer hat uns nun eine Folie abschreiben lassen und wollte wissen warum diese Folie zu unserem Thema gehört. Die Folie stellt Gefäße da, in der Wasser eingefüllt wird. Diese Gefäße müssen Kurven zugeordnet werden, die den Füllstand der Gefäße zeigen.
Was hat das mit Ableitung und/oder Differenzialrechnung zu tun?

Bild der Folie:
http://img808.imageshack.us/i/differenzialrechnung.jpg/

Vielen Dank für eure Hilfe!
Frage von Bizness | am 19.03.2011 - 07:35

 
Antwort von GAST | 19.03.2011 - 10:06
ich würde behaupten,
die oberen graphen stellen die steigung der unteren graphen dar.
die unteren graphen stellen in ihrer form den umriss der gefäße dar.


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Beiträge 5
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Antwort von Bizness | 19.03.2011 - 10:49
Danke für deine Antwort. Doch das ist mir schon klar. Der Lehrer hat uns die Frage gestellt: "Was hat das jetzt mit unserem Thema "Ableitung und Differenzialrechnung" zu tun.

 
Antwort von GAST | 19.03.2011 - 11:05
die ableitung ist die steigung.....


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Beiträge 63
0
Antwort von SL91 | 19.03.2011 - 11:20
die erste ableitung einer funktion gibt dir ja die steigung an.
wenn:
f´(x) > 0 dann steigt f(x)
f´(x) = 0 dann verläuft f(x) waagrecht
f´(x) < 0 dann fällt f(x)

also wenn du dann deine funktion abgeleitet hast, kannst du in eurem beispiel doch sagen, ob wasser ins gefäß gefüllt wird oder obs wasser ausgeschüttet wird!

nur ob dein lehrer das wissen will weiß ich nicht :D

 
Antwort von GAST | 19.03.2011 - 20:14
das ist alles nicht so das wahre.

man kann ja hier mal das prinzip von cavalieri anwenden.
das erläutere ich kurz:
du schneidest die körper mit einer ebene parallel zum boden der körper; du erhälst damit in verschiedenen höhen damit "querschnitte".
von diesen querschnitten rechnest du den flächeninhalt aus, multiplizierst den flächeninhalt mit einer infinitesimal kleinen höhe, du erhälst also sehr dünne zyinder in verschiedenen höhen, und wenn du die volumina all dieser zylinder aufaddierst erhälst du das volumen des körpers.
es gilt also V(t)=int_{0}^{h(t)) a(h`)dh`, wobei a(h`) die querschnitssfläche des querschnitss bei höhe h` ist und h(t) die füllhöhe zur zeit t.
das können wir nach der zeit ableiten und erhalten: a(h(t))*h`(t)=const. (natürlich nur wenn der durchfluss pro zeit konstant ist, was man hier wohl annimmt), was man kurz und unpräzise so forumulieren kann: "je größer die höhenänderung, desto geringer die querschnitssfläche und umgekehrt"
das war jetzt eine etwas formalere herleitung.
natürlich kann man sich das auch plausibel machen (das ist auch das, was von dir bei der aufgabe verlangt ist):
wenn du bei einer bestimmten höhe des gefäßes eine geringere querschnitssfläche hast, dann ist die höhenänderung besonders groß, d.h. dein graph zur funktion t-->h(t) ist dann besonders steil.

wenn der querschnitt konstant über die höhe ist, dann darf sich auch h`(t) nicht zeitlich ändern. demzufolge ist dann h(t) eine lineare funktion, wie du siehst.(dabei ist 3 steiler als 5 aus besagten gründen)
wenn der schnitt dagegen konstant zunimmt, muss h` in selben maße abnehmen der graph zur höhenfunktion ist eine parabel, wie etwa 6 und 1.
ähnliches kannst du die das verhalten der anderen graphen anhang des verhaltens der querschnittsfläche überlegen.

(was vielleicht auch ganz interessant ist, sind die stellen, bei denen die querschnittsfläche einen "sprung" bei einer gewissen höhe macht", dort muss natürlich auch h` einen sprung haben, also folgern wir daraus, dass h dort eine "ecke" hat: eigentlich ist h dort nicht diffbar und ein h` existiert nicht)

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