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Billard - Vektoren

Frage: Billard - Vektoren
(20 Antworten)

 
Stellt euch ein Billardtisch in einem x-y-Koordinatensystem vor: Die Breite beträgt 14 LE (x-Achse) und die Länge beträgt 28 LE (y-Achse).

Eine Kugel liegt auf der Position P(6|4).
Sie wird geradlinig in Richtung des Vektors (2|3) gestoßen.

Trifft sie das Loch bei L(14|0)

Also ich bin folgendermaßen schonmal vorangegangen:

Die Gleichung ist ja g: x(vektor) = (6|4) + r*(2|3)

Der Ball berührt ja die Bande A. D.h. er muss bei der x-Achse den Wert 14 haben. Jetzt fehlt nur noch der y-Wert:

(14|y) = (6|4) + r*(2|3) ----> y = 16

D.h. der Ball berührt die Bande bei A(14|16). Jetzt wird der Schlag ja reflektiert zur Bande B. Der Stützvektor ist ja in dem Falle bei der Berechnung jetzt (14|16). Aber wie lautet denn der Richtungsvektor?
GAST stellte diese Frage am 20.09.2010 - 19:44

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 19:50
kannst z.b. den winkel zwischen bande und (2|3) berechnen,
dieser winkel tritt auch zwischen bande und neuer richtung auf, damit ist die richtung eindeutig bestimmt.

oder du rätst ...

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:08
nene v-love, mathe ist kein ratespiel ;)

geht es auch anders außer den winkel zu berechnen? Was wäre wenn man (-3|2) nehmen würde? oder wie kann man sonst außer den winkel den richtungsvektor bestimmen?

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:13
"nene v-love, mathe ist kein ratespiel ;)"

deshalb weist du ja auch hinterher nach, dass es stimmt
ich denke bzw. dachte nur, dass die lösung klar ist; deshalb die methode schnell funktioniert.

"Was wäre wenn man (-3|2) nehmen würde?"

das wäre falsch.
damit die kugeln einen rechten winkel einschließen, muss der einfallswinkel 45° sein, ist aber leider hier nicht der fall

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:22
Also was soll ich jetzt genau tun? Also was für einen Richtungsvektor wählen?

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:23
versuchs mal mit (-2|3).

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:26
wie komms du auf (-2|3)? ich komme da auf B(6|28) was richtig scheint.

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:28
warum erscheint das richtig?

betrachte das SKP zwischen (0|1) und den beiden richtungsvektoren.

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:29
Was ist SKP? Erklär mir einfach bitte wie du auf (-2|3) kommst?

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:31
...,weil der vektor mit (0|1) den selben winkel einschließt wie mit (2|3) und nicht in dieselbe richtung zeigt wie (2|3).
dazu betrachtet man das skalarprodukt der vektoren.

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:33
ich kann dir nicht folgen wie du jetzt auf(0|1) kommst. und was skalarprodukt ist, weiß ich nicht und hatten wir auch nicht.

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:38
dann begründe eben über den tangens. (rechne mit der steigung den winkel aus.)

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:46
Das ist es doch! Wie soll ich Tangens anwenden? Tangens ist doch Ankathete durch Gegenkathete?
Die Strecke von P(6|4) bis A(14|16) kann ich ja mit Hilfe Pythagoras berechnen, weil ich weiß, dass die y-Differenz 12 ist und die x-Differenz 8.

tan alpha = 12/8 ? Aber dann kommt 56,3° raus? also was mach ich falsch?

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:49
jo, richtig.

nun beachten:

der quotient muss bei reflexion bis auf das vorzeichen gleich sein.

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:53
naja der quotient ist jetzt 3/2.
was "der quotient muss bei reflexion bis auf das vorzeichen gleich sein" genau bedeutet weiß ich nicht. alle vorzeichen etwa umdrehen oder wie?

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:55
nicht alle. genau eins, nämlich entweder von 2 oder von 3.
natürlich kannst du noch erweitern um eine positive zahl, das ändert nichts wesentliches. (die vektoren sind kollinear)

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 20:58
ok warte: ich hab jetzt raus tan = 3/2
du hast gesagt dass der richtungsvektor (-2|3) sein soll.
D.h. hier gilt die regel: p/q = -(q/p)
Was ich jetzt nicht verstehe ist, falls meine behauptung richtig ist, wie du darauf gekommen bist, wieso man 3/2 den kehrwert bilden muss und dann 2 negativ sein soll?

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 21:05
habe ich gesagt, dass du den kehrwert bilden musst?
kann mich nicht daran erinnern.

es gilt tan(alpha)=gegenkathete/ankathete=delta y/delta x=3/2, wobei v=(delta x|delta y) der richtungsvektor ist.

soll der winkel gleich bleiben, die richtung sich aber ändern, so kannst du die x-komponente von v mit -1 multiplizieren, dadurch ist tan(beta)=-3/2, genau wie es sein muss.

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 21:24
ok hab ich verstanden.

So jetzt kommt Bande Nr. 3 (C). Der Stützvektor ist (6|28). Jetzt der Richtungsvektor: Da es ja jetz senkrecht zur y-Achse geht, müsste doch der Richtungsvektor (-2|-3) sein, da es ja nur in eine andere Richtung geht und deswegen eine negat. Steigung.
Und da ich weiß, dass bei Bande C x = 0 sien muss, brauch ich nur noch y zu berechnen.

Ich hab dann (0|17) raus bekommen.

Jetzt kommt der letzte Schritt: Da die Kugel in L(14|0) treffen soll, muss ich jetzt die neue Gleichung mit L gleichsetzen.

Der Richtungsvektor ist dabei wie bei von Bande A bis Bande B, also (-2|3).

Und laut Rechnung kommt raus, dass die Kugel nicht eingelocht wird.

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 21:36
"Ich hab dann (0|17) raus bekommen."

ich komme auf (0|19).

 
 Antwort von GAST | 20.09.2010 - 23:29
stimmt, 28 - 9 = 19 , nicht 17 :D

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