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Methode der kleinen Schritte

Frage: Methode der kleinen Schritte
(7 Antworten)


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Eine Holzkugel (m=2,0kg; r=10cm) wird von einem zehn Meter hohen Turm fallen gelassen. Berechnen Sie mithilfe der Methoder der kleinen Schritte den Weg der Kugel während der ersten Sekunde ihres Falls. Die Luftreibung ist dabei zu berücksichtigen.


Ich kann den Weg berechnen ohne die Luftreibung zu berücksichtigen. Wie mache ich das mit der Luftreibung?

Fw=1/2*cw*A*luftdichte*v²

cw=0,45
A=0,0314m³
luftdichte=1,29kg/m³

Die Geschwindigkeit kann ich berechnen: 46,4m/s
Das ist aber die Geschwindigkeit, mit der die Kugel am Boden aufkommt.

Um den Weg in der ersten Sekunde zu berechnen brauche ich aber die mittlere Geschwindigkeit in dieser Sekunde.
Wie komme ich auf diese?

Danke im Vorraus
Frage von I.need.money (ehem. Mitglied) | am 07.01.2010 - 19:06


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Antwort von Double-T | 07.01.2010 - 20:52
Ich habe nie mit "kleinen Elementen" gearbeitet, aber ich würde es folgendermaßen lösen:


Ohne Reibung:
s(t) = gt²/2
v(t) = gt
Widerstand: Fw(t) = 1/2*c*A*roh*v(t)² = 1/2*c*(pi*r²)*roh*v(t)
a(t) = Fw/m ist die Beschleunigung "nach oben", die durch Fw auftritt.
Aber so macht das natürlich noch nicht viel Sinn.

Betrachten wir also t=0
s(t)=-10, v(t)=0 , b(t)=g ; mit b(t) als der Beschleunigung der Kugel zum Zeitpunkt t.

Nun vergeht eine Zeit von dt.
t=0+dt
v(0+dt) = g*dt
v_mittel(t) = (g*dt-0)/2 = g*dt/2
Fw(t) =1/2*c*A*roh*v_mittel(t)²
b(t) = g - Fw(t)/m

Und so wird die Beschleunigung Schritt für Schritt kleiner.


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Antwort von Double-T | 07.01.2010 - 19:17
Fw "bremst" deine Kugel.
Fw/m = a
Diese Beschleunigung ist v entgegen gerichtet.

Wie hast du die Endgeschwindigkeit berechnet? (habe es nicht geprüft, wirkt aber zu schnell)


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Antwort von I.need.money (ehem. Mitglied) | 07.01.2010 - 19:23
Endgeschindigkeit hat ich berechnet indem ich Gewichtskraft mit der Widerstandskraft gleichgesetzt hab und nach v aufgelöst hab.

m*g=1/2*cw*A*luftdichte*v²
...
v=wurzel aus[(m*g)/(1/2*cw*A*luftdichte)]

und dann halt eingesetzt.
Mich wunderts, dass in der gleichung keine Höhe vorkommt. Die ist ja eigentlich wichtig für die Endgeschwindigkeit.
Ich hab den Lösungsweg aus meinem Buch. Da haben die berechnet, mit welcher Geschwindigkeit ein Regentropfen aufm Boden aufkommt.


Wieso ist Fw/m=a ?


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Antwort von Double-T | 07.01.2010 - 19:43
Zitat:
wird von einem zehn Meter hohen Turm fallen gelassen

Du hast nur 10m Fallstrecke. Deine Kugel sollte nicht mehr kinetische Energie bekommen, als sie potenzielle hat. Durch den Reibungsverlust wird sie sogar noch geringer sein.

Zitat:
Mich wunderts, dass in der gleichung keine Höhe vorkommt. Die ist ja eigentlich wichtig für die Endgeschwindigkeit.
Ich hab den Lösungsweg aus meinem Buch. Da haben die berechnet, mit welcher Geschwindigkeit ein Regentropfen aufm Boden aufkommt.

Regen fällt gerne auch einige Kilometer. In der Regel aber Hunderte.
Da kann man annehmen, dass der Regen unterwegs auf sein Maximum kommt.


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Antwort von I.need.money (ehem. Mitglied) | 07.01.2010 - 19:44
Also ist die Höhe irrelevant?


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Antwort von Double-T | 07.01.2010 - 19:57
Für den Grenzwert der Geschwindigkeit in besagtem Medium ist sie unerheblich.
Reicht deine Höhe allerdings nicht aus um nahe an sie heran zu kommen, ist sie wesentlich.


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Antwort von I.need.money (ehem. Mitglied) | 07.01.2010 - 20:00
hm und wie löse ich die Aufgabe?
Ich hab keinen Plan wie ich das machen soll..


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Antwort von Double-T | 07.01.2010 - 20:52
Ich habe nie mit "kleinen Elementen" gearbeitet, aber ich würde es folgendermaßen lösen:


Ohne Reibung:
s(t) = gt²/2
v(t) = gt
Widerstand: Fw(t) = 1/2*c*A*roh*v(t)² = 1/2*c*(pi*r²)*roh*v(t)
a(t) = Fw/m ist die Beschleunigung "nach oben", die durch Fw auftritt.
Aber so macht das natürlich noch nicht viel Sinn.

Betrachten wir also t=0
s(t)=-10, v(t)=0 , b(t)=g ; mit b(t) als der Beschleunigung der Kugel zum Zeitpunkt t.

Nun vergeht eine Zeit von dt.
t=0+dt
v(0+dt) = g*dt
v_mittel(t) = (g*dt-0)/2 = g*dt/2
Fw(t) =1/2*c*A*roh*v_mittel(t)²
b(t) = g - Fw(t)/m

Und so wird die Beschleunigung Schritt für Schritt kleiner.

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