Mathe--Ableitung(funktionen) Aussagen wahr oder falsch?

Ich versuch mich auch mal dran.Aber ich sage nur eins : Frag mal nach,ob er dir ein Beispiel für f(x) und g(x) nennen kann

a)
Soweit ich sehe,ist Dratandel richtig

b)
Ist so ein Mischdingens.Wenn er das frägt,frag ihn,ob er damit meint,die Null auszuschließen.Sonst stimmt da wieder Dratandel´s Antwort

f(x)=3
f`(x)=0
g(x)=9
g`(x)=0

Bei Aufgabe a) steht, dass wenn die erste ableitung von g und f identisch sind, dann seien auch die funktion identisch.
An meinem Beispiel siehst du aber, dass das nicht so ist.

Die Ableitungen beider funktionen sind zwar 0 und somit identisch:
f`(x) = g`(x) = 0
Die Funktion ist deswegen aber nicht diselbe:
f(x) = 3 <ungleich> g(x) = 9

Also sind zwei Funktionen mit gleicher Ableitung nicht identisch.

a) beweis für falschheit.
angenommen es gilt f`=g`

durch integration stößt man auf integral f`=integral g`
anwendung des hauptsatzes: f=g+c mit c aus R.
es gilt also f=g+c, aber nicht zwangsläufig f=g.
q.e.d.

mit anderen worten: die funktionen f und g sind verschoben (um vektor (0|a)), wenn f`=g`

b)bew.:
polynome bestehen aus potenzen, also lässt sich an jeder stelle x aus R eine (konvergente) potenzreihe finden.
mit taylor folgt dann: jedes polynom ist beliebig oft diffbar.
q.e.d.

einfacher gesagt: du leitest ein polynom ab: das ergebnis ist ein polynom, wegen den herkömmlichen ableitungsregeln: [x^n]`=nx^(n-1)
n-1 ist eine natrliche zahl, sofern n>=1. (für n<1 ist n-1 ganz, da n natürlich)
aber wenn n=0 ist, dann ist der koeffizient 0, also haben wir dann nur +0 stehen.
und das bleibt auch bei 0, da 0*a=0 (bew.: 0*a=(0+0)*a=0*a+0*a).
und da ax^n+bx^(n-1)+... diffbar ist (wieder nach ableitungsregeln) ist das polynom unendlich oft differenzierbar