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abstand punkt ebene

Frage: abstand punkt ebene
(22 Antworten)

 
a)

P (5/3/3) E:x= (6/-1/0) + s(1/2/1)+t(2/7/-1)
Normalenvektor = (-3/1/1)
Hilfsebene= -3x + y + z + 9 = 0
HNF= (-3x + y +z +9)/(wurzel(11))= 0
(-15 +3 +3 +9)/(wurzel(11))= 0

Hier mein Problem, im Lösungsheft steht die Hilfebene so
15 -3 -3- 19
ich versteh ja, dass das mit mal (-1) gerechnet wurde, aber wo kommt die "-19" her?

b)
E:x=(1/1/1) +s(3/2/4) +t(1/-2/2)
F:x=(2/-4/1)+u(2/0/3) +v(1/2/1)

wie funktioniert das hier? was ist mein Normalenvektor und was mein P ?

Bitte um schnelle Hilfe^^
GAST stellte diese Frage am 07.12.2008 - 15:56

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 16:07
die hesse-normalenform lautet ja allgemein: (x-p)*n/|n|=0

mit n=(-3|1|1) und p=(6|-1|0),
wenn du p skalar mit n multiplizierst kommst du auf -19.

übigens ist der name hilfsebene unangebracht. sollte nämlich dieselbe ebene wie E sein.

bei b) nimmst du (2|-4|1) als p und bestimmst den abstand von P zu E

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 16:12
zu a)

wieso muss ich das Skalarprodukt nehmen?
stimmt das so nicht ?

[(x/y/z)-(5/3/3)](-3/1/1) ?

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 16:16
ne, das stimmt nicht, weil (5|3|3) kein punkt der ebene ist

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 16:18
also müsste es dann so lauten:
E:[(x/y/z)-(6/-1/0)](-3/1/1)

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 16:19
wenn du noch ein =0 dranhängst, dann ja.

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 16:48
thx, hab beide richtig raus

hab aber noch eine andere frage bzw. aufgabe.
es geht wiederum Abstand Punkt-Ebene

g:x= x/4 + y/3 = 1 Q(6/-3)

wie geht sowas?

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 16:52
das ist eher abstand punkt-gerade

bestimme die hesse-normalenform der geraden, dann wieder Q einsetzen und abstand bestimmen.

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 17:01
aos ja, hast recht ^^
k .. so, jetzt meine hoffentlich letzte frage

Abstand zweier windschiefen Geradan
g1:x= (3/2/-1) +s(-3/0/4)
g2:x= (7/1/2) +t(-1/-4/0)

Normalenvektor= (4/-1/3)
um auf meine Ebenegeleichung zu kommen, muss ich welchen Punkt nehmen?
[(x/y/z)-(?/?/?)](4/-1/3)

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 17:04
ich habe übrigens angenommen (wegen dem g), dass es eine gerade ist, muss nicht unbedingt sein.

"um auf meine Ebenegeleichung zu kommen, muss ich welchen Punkt nehmen?"

nimm einen der beiden stützvektoren der geraden als stützvektor der ebenen. als punkt nimmst du dann den aufpunkt der anderen gerade

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 17:14
[(x/y/z)-(3/2/-1)](4/-1/3)=0
4x -y +3z -7 = 0
stimmt das soweit?
für die HNF hääte ich jetzt P(7/1/2) genommen ... .richtig?

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 17:27
jo, stimmt so......

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 17:31
habs soweit alles rausbekommen, außer diese aufgabe

g:x= x/4 + y/3 = 1 Q(6/-3)
ich hab dann die 1 rübergeholt ... g:x= x/4 + y/3 -1= 0

und wie gehts weiter? kannst du mir mal bitte helfen? wie bekomm ich das in die HNF?

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 17:37
tile durch den betrag des vektors n=(1/4|1/3)

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 17:55
stimmt das g:x= x + y -1=0?

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 17:59
ne, das kann natürlich nicht stimmen

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 18:44
kannst du mir mal bitte vorrechnen. es wäre wirlich hilfreich ...

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 18:46
dividiere x/4 + y/3 = 1 durch 5/12

dann hast du die HNF der geraden

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 19:06
HNF 3x/5 + 4y/12 = 12/5
dann muss ich ja den punkt Q einsetzen ...
= 18/5 -12/5 = 12/5 und nun?

am ende muss ein abstand von 1,2 LE rauskommen

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 19:10
ne, die HNf stimmt immer noch nicht

 
 Antwort von GAST | 07.12.2008 - 19:25
wie muss sie denn dann sein?

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