Hilfe: Exponentialfunktionen

Kein
Mathe-Checker da?

SOrry ^^ stimmt meine war falsch!

f`(x)=e^(-0.5x)*(250-125x)
f`(x)=0
250=125x
x=2

für den durchmesser 2 wird die gröte anzahl an teilchen ausgestoßen

f(x)=250*2*e^(-1)
=500e^-1
184

lim(x-->+unendlich) 250xe^-0.5x
--->konvergiert gegen 0
also y=0

@ v_love:
x Element R+0, also nie negativ...
f(x)=250x*e^(-0.5x)
einer von beiden Faktoren müsste negativ sein... geht nich^^

Also zur a. Ableitung: Ich weiß, dass die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion selber ist, aber ich weiß nicht wie man auf das dahinter kommt.

Die 1.Ableitung ist
250x*e^(-0,5x)
250*-0.5xe^(-0,5x)

Da noch Fragen offen sind, nocheinmal.
Es handelt sich um eine Asymptote, weil die Funktion für positive x Werte niemals 0 ergibt.

f(x) = 250x*e^(-0,5x)
Beim Ableiten nutzt man die Kettenregel für den Teil des e^(-0,5x) und auch die Produktregel.
u = 250x -> u` = 250
v = e^(-0,5x) -> v` = -0,5*e^(-0,5x)

per Produktregel ergibt sich:
f`(x) = 250x * (-0,5*e^(-0,5x)) + 250 * e^(-0,5x)
= -125x*e^(-0,5x) + 250 * e^(-0,5x)
= (250 - 125x) * e^(-0,5x)

Da ein Hochpunkt der 1. Ableitung gesucht ist (maximaler Teilchenausstoß) muss gelten: f`(x) = 0
f`(x) = (250 - 125x) * e^(-0,5x) = 0

Da es sich bei dieser Gleichung um eine Linearfaktorschreibweise handelt, kann man die einzelnen Linearfaktoren betrachten um die Nullstellen zu ermitteln.

e^(-0,5x) wird niemals 0 , ganz egal, was man für x einsetzen wird.
Also muss der andere Linearfaktor die Nullstelle enthalten.
(250 - 125x) = 0
250 = 125x
2 = x
Also liegt ist die Extremstelle x = 2
(die Hinreichende Bedingung lasse ich mal weg, weil es sich sowieso um einen Hochpunkt handelt :P )

Die Anzahl der Ausgestoßenen Teilchen werden dadurch berechnet, dass man die Extremstelle in f(x) einsetzt:
f(2) = 250* 2 *e^(-0,5 * 2) = 500 * e^(-1) = 184Teilchen

noch fragen?

@ Slayer WTBG: Danke! ^^

@Double-T: hab ich verstanden glaube ich! ^^ sag mal wenn ich die 2. Ableitung bilden möchte, mache ich das genauso wie bei der ersten nur dass ich von der ersten Ableitung ausgehe?

f(x) = 250x*e^(-0,5x)
Beim Ableiten nutzt man die Kettenregel für den Teil des e^(-0,5x) und auch die Produktregel.
u = 250x -> u` = 250
v = e^(-0,5x) -> v` = -0,5*e^(-0,5x)

per Produktregel ergibt sich:
f`(x) = 250x * (-0,5*e^(-0,5x)) + 250 * e^(-0,5x)
= -125x*e^(-0,5x) + 250 * e^(-0,5x)
= (250 - 125x) * e^(-0,5x)

Das ist der Weg zur 1. Ableitung
Für f``(x) wollte ich mir eigentlich ersparen *lol*
Du machst di gleichen Schritte, wie bei der 1. nur, dass du als Ausgangsgleichung die 1.Ableitung nimmst:
f`(x) = (250 - 125x) * e^(-0,5x)

u = (250 - 125x) -> u` = -125
v = e^(-0,5x) -> v` = -0,5*e(-0,5x)

Zusammengesetzt ergibt das per Produktregel dann:
f``(x) = (250 - 125x) * (-0,5*e(-0,5x)) + (-125) * e^(-0,5x)
= (-125*e(-0,5x)) - (- 62,5x *e(-0,5x)) - 125*e^(-0,5x)
= 62,5x*e(-0,5x) - 250*e^(-0,5x)
= (62,5x - 250) * e^(-0,5x)