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Hilfe: Exponentialfunktionen

Frage: Hilfe: Exponentialfunktionen
(17 Antworten)

 
Ich habe eine Aufgabe zu Exponentialfunktionen auf und komme überhaupt nicht damit klar...

Kann mir vllt.
jemand dabei helfen und mit mir zusammen die Aufgabe mal durchrechnen?

Hier die Aufgabe:

Aus einem Verbrennungsmotor kommt in einem best. Zeitintervall Feinstaub mit einer Verteileung, die durch die Funktion f gegeben ist. Dabei gibt f(x) an, wie viele Partikel mit dem Durchmesser x (in kontinuierlicher Näherung) ausgestoßen werden. Die Funktionsgleichung von f lautet f(x) = 250x*^e-0,5x mit x Element R+0. Führen SIe Ihre Berechnungen ohne Berücksichtigung der Dimensionen durch!

a) Begründen Sie, dass für alle x gilt: f(x) >= 0 und das Schaubild von f besitzt eine Asymptote mit der Gleichung y=0.
Bestimmen Sie, für welchen Durchmesser x die größte Anzahl von Teilchen ausgestoßen wird und geben Sie die Anzahl der Partikel mit diesem Durchmesser an. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f für 0<=x<=5.
GAST stellte diese Frage am 07.03.2007 - 19:14

 
Antwort von GAST | 07.03.2007 - 19:19
Kein
Mathe-Checker da?


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Antwort von Double-T | 07.03.2007 - 19:20
immer mit der Ruhe...
Würdest du bitte deine Funktion korrigieren?
f(x) = 250x*^e-0,5x
so kann diese nicht existieren.
ich tippe mal auf:
f(x) = 250x*e^(-0,5x)

 
Antwort von GAST | 07.03.2007 - 19:22
SOrry ^^ stimmt meine war falsch!

 
Antwort von GAST | 07.03.2007 - 19:26
Kannst Du mir denn bei der Aufgabe helfen?

 
Antwort von GAST | 07.03.2007 - 20:01
f`(x)=e^(-0.5x)*(250-125x)
f`(x)=0
250=125x
x=2

für den durchmesser 2 wird die gröte anzahl an teilchen ausgestoßen

f(x)=250*2*e^(-1)
=500e^-1
184

lim(x-->+unendlich) 250xe^-0.5x
--->konvergiert gegen 0
also y=0

 
Antwort von GAST | 07.03.2007 - 20:06
"Begründen Sie, dass für alle x gilt: f(x) >= 0"
(mathematisch kann man das nicht begründen, (weil es nicht stimmt))
es können nicht -partikel ausgestoßen werden, deshalb beginnt es erst bei 0(partikel werden nicht ausgestoßen)


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Antwort von dh09 (ehem. Mitglied) | 07.03.2007 - 20:10
@ v_love:
x Element R+0, also nie negativ...
f(x)=250x*e^(-0.5x)
einer von beiden Faktoren müsste negativ sein... geht nich^^

 
Antwort von GAST | 07.03.2007 - 20:29
ich weiß ja nicht worauf du genau hinaus willst... aber das wäre eine begründung( die ich überlesen habe) dafür, dass f(x) größer gleich 0 ist

 
Antwort von GAST | 08.03.2007 - 16:46
Also zur a. Ableitung: Ich weiß, dass die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion selber ist, aber ich weiß nicht wie man auf das dahinter kommt.

 
Antwort von GAST | 08.03.2007 - 16:58
Ich dachte, die 1.Ableitung lautet:

f`(x)= e^(-0,5) *(250x+500)


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Antwort von Slayer_WTBG (ehem. Mitglied) | 08.03.2007 - 17:02
Die 1.Ableitung ist
250x*e^(-0,5x)
250*-0.5xe^(-0,5x)

 
Antwort von GAST | 08.03.2007 - 17:03
Aber ich verstehe nicht warum


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Antwort von Double-T | 08.03.2007 - 17:04
Da noch Fragen offen sind, nocheinmal.
Es handelt sich um eine Asymptote, weil die Funktion für positive x Werte niemals 0 ergibt.

f(x) = 250x*e^(-0,5x)
Beim Ableiten nutzt man die Kettenregel für den Teil des e^(-0,5x) und auch die Produktregel.
u = 250x -> u` = 250
v = e^(-0,5x) -> v` = -0,5*e^(-0,5x)

per Produktregel ergibt sich:
f`(x) = 250x * (-0,5*e^(-0,5x)) + 250 * e^(-0,5x)
= -125x*e^(-0,5x) + 250 * e^(-0,5x)
= (250 - 125x) * e^(-0,5x)

Da ein Hochpunkt der 1. Ableitung gesucht ist (maximaler Teilchenausstoß) muss gelten: f`(x) = 0
f`(x) = (250 - 125x) * e^(-0,5x) = 0

Da es sich bei dieser Gleichung um eine Linearfaktorschreibweise handelt, kann man die einzelnen Linearfaktoren betrachten um die Nullstellen zu ermitteln.

e^(-0,5x) wird niemals 0 , ganz egal, was man für x einsetzen wird.
Also muss der andere Linearfaktor die Nullstelle enthalten.
(250 - 125x) = 0
250 = 125x
2 = x
Also liegt ist die Extremstelle x = 2
(die Hinreichende Bedingung lasse ich mal weg, weil es sich sowieso um einen Hochpunkt handelt :P )

Die Anzahl der Ausgestoßenen Teilchen werden dadurch berechnet, dass man die Extremstelle in f(x) einsetzt:
f(2) = 250* 2 *e^(-0,5 * 2) = 500 * e^(-1) = 184Teilchen

noch fragen?


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Antwort von Slayer_WTBG (ehem. Mitglied) | 08.03.2007 - 17:07
mhm...
dann lag ich falsch.ich denk auch,dass Double-T da richtig liegt...

Ach,und schicke Musik ;)

 
Antwort von GAST | 08.03.2007 - 17:14
@ Slayer WTBG: Danke! ^^

@Double-T: hab ich verstanden glaube ich! ^^ sag mal wenn ich die 2. Ableitung bilden möchte, mache ich das genauso wie bei der ersten nur dass ich von der ersten Ableitung ausgehe?

 
Antwort von GAST | 08.03.2007 - 17:19
ICh hab grad mal versucht die 2. Ableitung zu machen, aber irgendwie schein ich das doch nicht so ganz zu können


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Antwort von Double-T | 08.03.2007 - 17:39
f(x) = 250x*e^(-0,5x)
Beim Ableiten nutzt man die Kettenregel für den Teil des e^(-0,5x) und auch die Produktregel.
u = 250x -> u` = 250
v = e^(-0,5x) -> v` = -0,5*e^(-0,5x)

per Produktregel ergibt sich:
f`(x) = 250x * (-0,5*e^(-0,5x)) + 250 * e^(-0,5x)
= -125x*e^(-0,5x) + 250 * e^(-0,5x)
= (250 - 125x) * e^(-0,5x)

Das ist der Weg zur 1. Ableitung
Für f``(x) wollte ich mir eigentlich ersparen *lol*
Du machst di gleichen Schritte, wie bei der 1. nur, dass du als Ausgangsgleichung die 1.Ableitung nimmst:
f`(x) = (250 - 125x) * e^(-0,5x)

u = (250 - 125x) -> u` = -125
v = e^(-0,5x) -> v` = -0,5*e(-0,5x)

Zusammengesetzt ergibt das per Produktregel dann:
f``(x) = (250 - 125x) * (-0,5*e(-0,5x)) + (-125) * e^(-0,5x)
= (-125*e(-0,5x)) - (- 62,5x *e(-0,5x)) - 125*e^(-0,5x)
= 62,5x*e(-0,5x) - 250*e^(-0,5x)
= (62,5x - 250) * e^(-0,5x)

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