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Extremproblematik: Tragfähigkeit eines Balkens

Frage: Extremproblematik: Tragfähigkeit eines Balkens
(15 Antworten)


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Hallo. Ich bereite mich gerade auf meine Mathe Klausur nach den Ferien vor und bearbeit hierfür Übungsaufgaben.

Leider bin ich auf eine Übungsaufgaben gestoßen, die ich vergeblich versucht habe zu lösen- leider hat es nicht geklappt.
Könnte mir jemand bitte helfen?

Die Aufgabe:

Die Tragfähigkeit eines Balkens mit rechteckiger Querschnittsfläche ist proportional zur Breite b und dem Quadrat der Höhe h.
Ein Balken wird aus einem 30 cm dicken Stamm angefertigt. Wie sind die Maße zu wählen, damit seine Tragfähigkeit möglichst groß ist?

Danke für eure Hilfe
Frage von timo________10 | am 01.01.2020 - 17:18


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Antwort von Rikko (ehem. Mitglied) | 02.01.2020 - 13:26
Oh, ich habe mal geyoutubed und bin auf folgendes Video gestoßen: www.youtube.com
Tatsächlich ist Pythagoras erforderlich.
Ratgeber und v_love waren auf dem richtigen Weg.
Also h² in die Zielfunktion einsetzen!
T(b)=k*b*(900-b²) ⇔ T(b)= k*900*b - k*b³.
Nun sucht man das Extremum (Maximum) und setzt daher die 1.Ableitung =0.
Also T´(b) = -3*k*b² + 900*k = 0.
Ich spare mir die Umformungen. Resultat: b² = 300.
Wurzelziehen: b=√300=17,32 cm.
Wir wollen auch h berechnen.
Also setzen wir in die Nebenbedingung ein.
h²=900-b². Also ist nach Einsetzen h² =600. Endergebnis: h= 24,49 cm und b= 17,32 cm.


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Antwort von senni (ehem. Mitglied) | 01.01.2020 - 17:47
Die Aufgabe müsste eine Extremalfunktion angeben für die Tragfähigkeit
Meinst du mit 30cm dick, dass der Querschnitt (d) des Stammes 30cm beträgt? Wenn ja: Denke an den Satz des Pythagoras als Nebenfunktion: a2+b2=c2 -> b2+h2=c2


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Antwort von timo________10 | 01.01.2020 - 17:56
Hi Senni. Das habe ich auch schon mit dem Satz des Pythagoras ausprobiert, jedoch kommt dann unter der Wurzel bei mir ein negativer Wert. Und das ist dann ein mathematischer Fehler :-(
Könntest du sonst netterweise die Aufgabe lösen und ich versuche dann den Lösungsweg nachzuvollziehen.
Das wäre wirklich sehr nett von dir


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Antwort von timo________10 | 01.01.2020 - 17:58
Der Stamm ist 30 cm dick. Und daraus soll ein Balken mit einer möglichst großen Tragfähigkeit ,,entstehen“


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Antwort von Rikko (ehem. Mitglied) | 01.01.2020 - 18:04
Also, ich habe noch keine Idee. Es handelt sich wohl um einen Baumstamm mit 30 cm Durchmesser. Daraus kann man ja verschiedene Rechtecke aussägen. Die Höhe sollte möglichst groß sein (wegen dem Quadrat der Höhe). Wäre die Höhe 30 cm, dann wäre ja die Breite 0! Im Prinzip muss man in einem Kreis (30 cm Durchmesser) ein Rechteck einzeichnen und dabei die b*h² maximieren. Das ist alles.


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Antwort von Ratgeber | 01.01.2020 - 19:07


So weit warst Du ja schon:
  • Nebenbedingung: b2 + h2 = 302 => h2 = 900 - b2
  • Zielfunktion: T(b) = k * b * h2
    - gegebene Werte einsetzen
    - 1. Ableitung (T`) bilden
    - Ergebnis für b in Nebenbedingung (s. o.) einsetzen und h berechnen


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Antwort von Rikko (ehem. Mitglied) | 01.01.2020 - 20:47
Hallo @ratgeber und timo, also in der Aufgabenstellung ist klar formuliert, dass die Tragfähigkeit eines Balkens proportional zur Breite b und dem Quadrat der Höhe h ist und nicht zu b²! Vermutlich braucht man noch die Kreisformel?! Danach müsste man die b*h² innerhalb des Kreises maximieren.
@ratgeber: In der Nebenbedingung machst du eine Äquivalenzumformung (⇔), daher wäre das Folgezeichen (⇒) hier eher nicht richtig.
Irgendwie müsste ja auch ein Pi vorkommen...


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Antwort von v_love | 01.01.2020 - 23:07
Nein, ein pi muss hier nicht vorkommen, ist ja schließlich nur der Satz des Pythagoras, auch eine Aequivalenz braucht man hier nicht.

Um nochmal das mathematische Problem zu formulieren:

Du suchst das (globale) Maximum der Funktion
T(b,h)=k*b*h² mit einer Konstanten k unter der Nebenbedingung h²=900cm²-b².

Es gibt verschiedene Möglichkeiten dieses Problem zu lösen, die wahrscheinlich einfachste ist, die Nebenbedingung in T einzusetzen.
Du erhälst dadurch eine Funktion, die nur von der Breite abhängt und auf dem Intervall [0,30cm] definiert ist. Diese Funktion ist auf Maxima zu untersuchen. Hierzu solltest du die Funktion auf lokale Extrema untersuchen und außerdem das Verhalten auf dem Rand betrachten.


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Antwort von Rikko (ehem. Mitglied) | 02.01.2020 - 12:36
Hallo noch mal, ich frage mich, wie ihr alle auf b² kommt! Ein Dachbalken hat eine Höhe und eine Breite. Das Gewicht liegt auf der Höhe, weshalb Dachbalken immer höher als breit sind! Hier geht es um die Maximierung der Belastbarkeit, die eben von der Breite und dem Quadrat der Höhe abhängig ist! Wäre der Balken 30 cm hoch, dann wäre die Breite 0 cm! Also muss man probieren, dass eben b*h² maximal ist und dazu die Kreisformel (mit Pi) und ohne Pythagoras benutzen! Schaut euch die Skizze an www.dachdecker.com


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Antwort von Rikko (ehem. Mitglied) | 02.01.2020 - 13:26
Oh, ich habe mal geyoutubed und bin auf folgendes Video gestoßen: www.youtube.com
Tatsächlich ist Pythagoras erforderlich.
Ratgeber und v_love waren auf dem richtigen Weg.
Also h² in die Zielfunktion einsetzen!
T(b)=k*b*(900-b²) ⇔ T(b)= k*900*b - k*b³.
Nun sucht man das Extremum (Maximum) und setzt daher die 1.Ableitung =0.
Also T´(b) = -3*k*b² + 900*k = 0.
Ich spare mir die Umformungen. Resultat: b² = 300.
Wurzelziehen: b=√300=17,32 cm.
Wir wollen auch h berechnen.
Also setzen wir in die Nebenbedingung ein.
h²=900-b². Also ist nach Einsetzen h² =600. Endergebnis: h= 24,49 cm und b= 17,32 cm.


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Antwort von timo________10 | 02.01.2020 - 15:10
Vielen Dank für eure Hilfestellung!


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Antwort von timo________10 | 03.01.2020 - 17:12
Ich habe nochmal eine Frage. Was ist die Variable k bei der Zielfunktion?


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Antwort von v_love | 03.01.2020 - 17:35
Da die Tragfähigkeit proportional zu b und h² ist, ist T(b,h)=k*b*h² mit einer Konstanten k. Die Breite/Höhe, bei der T maximal wird, hängt nicht von k ab - das Maximum natürlich schon.


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Antwort von Rikko (ehem. Mitglied) | 04.01.2020 - 15:13
Eigentlich kann man sich die Konstante k sparen. Warum sollte das Maximum von einer Konstanten, die beim Ableiten ohnehin wegfällt, abhängig sein? Ich habe ja das Maximum berechnet und kenne k ja gar nicht!


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Antwort von v_love | 04.01.2020 - 21:57
Nein, die Konstante kann man sich nicht sparen, da die Tragfähigkeit nunmal nicht identisch dem Produkt aus Breite und dem Quadrat der Höhe ist. Die Konstante fällt beim Ableiten auch nicht weg, sondern bleibt stehen.
Wie erwähnt ist die max. Tragfähigkeit unbestimmt, die Breite bzw. Höhe, bei der die Tragfähigkeit maximal wird jedoch nicht.


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Antwort von Rikko (ehem. Mitglied) | 05.01.2020 - 16:28
Das stimmt zwar, aber danach war nicht gefragt! Die Tragfähigkeit sollte nicht berechnet werden! Es soll nur die maximale Tragfähigkeit erreicht werden.

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