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Kostenfunktion

Frage: Kostenfunktion
(11 Antworten)


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Hallo Leute,

ich stehe vor einem Problem.
Ich muss eine Funktion aufstellen, welche den Erlös einer Party maximiert. Gegeben sind folgende Informationen:

  • In den Club passen Maximal 700 Leute
  • Bei einem Eintrittspreis von 3,50€ sind 440 Besucher zu erwarten
  • Wenn der Preis um 1€ steigt, kommen 65 Personen weniger


Ich habe bereits berechnet, dass bei 5,25€, 326,25 Menschen kommen und der Erlös an dieser Stelle am höchsten ist mit 1712,81€.
Nun weiß ich aber nicht, wie ich eine gescheite Funktion aufstelle. Bei mir scheitert es daran, dass ich das mit der Personenanzahl in Abhängigkeit vom Preis nicht hinbekomme. Könnt ihr mir da ein paar Tipps geben?

Die Funktion müsste ja so aussehen, wenn mich nicht alles täuscht: f(x)=-(ax2 + bx + c)

Vielen Dank!
Frage von ichsdeh | am 20.06.2017 - 12:35


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Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 20.06.2017 - 18:06
Dann bitte die 1. Ableitung als notwendige Bedingung = 0 setzen.
-130 x + 667,5 = 0 ⇔ 667,5 = 130 x ⇔ x = 5,13462€.
Durch Einsetzen ergibt sich eine Besucheranzahl von 333,75 und ein Erlös von sage und schreibe 1713,6808€,
genau 87 cent mehr als bei Deiner ersten Lösung. Du solltest also ein paar Leute mehr reinlassen. Richtige Lösung wäre wohl 334 Gäste. Diese Menge liegt auch innerhalb des Definitionsbereiches zwischen 0 und maximal 700, also 0≤f(x)≥700.
f(x) war unsere Besucherfunktion.


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Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 20.06.2017 - 13:02
Eigentlich ist es ja ein Problem der linearen Optimierung / Simplexverfahren.
Ich gehe mal davon aus, daß der Preis auch in Intervallen von Cents steigen kann.
Aber die Personenanzahl muß natürlich eine ganze Zahl sein, also 326 Personen... Mit Deiner Funktionsgleichung kann ich noch nix anfangen, weil die Bezeichnungen fehlen.


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Antwort von ichsdeh | 20.06.2017 - 13:07
Klar, in Cents geht auch. Die Funktion hat nur diese Form, denke ich, weil es ja ein nach unten geöffnete Parabel ist.

Wie gesagt, ich weiß halt nicht wie man diese Abhängigkeit zwischen Preis und Personenanzahl mathematisch beschreibt bzw in einer Funktion darstellt, so dass weniger Personen kommen, wenn der Preis steigt.


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Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 20.06.2017 - 13:24
Also eigentlich hast Du ja 2 Funktionen!
1) Die Erlösfunktion: x-Achse: Eintrittspreis; y-Achse: Erlös
2) Besucherfunktion: x-Achse: Eintrittspreis; y-Achse: Besucheranzahl
Jeweils eine Funktion bilden, dann die eine in die andere einsetzen, könnte evtl. so funktionieren. Geht´s denn ums Abi oder ums Studium?


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Antwort von ichsdeh | 20.06.2017 - 13:31
Ok, danke schon mal. Jetzt hab ich aber immer noch das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich die Abhängigkeit zwischen Eintrittspreis und Besucherzahl mathematisch in eine Funktion packe. Geht ums Abi.


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Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 20.06.2017 - 14:06
Also eine Wertetabelle ist ja vorhanden! Daraus kann man die Gerade berechnen und ihre Steigung, Stichwort 2-Punkteformel. Eintrittspreis auf der x-Achse eintragen, Besucheranzahl auf y-Achse. Dann ist es eine fallende Gerade, welche die y-Achse bei 700 trifft ( wegen der Raumgröße) und ab einem bestimmten Eintrittspreis kommt überhaupt keiner mehr, Treffpunkt x-Achse. Der Erlös ist ja eigentlich das Produkt aus f(x) [also y] mal x. Vielleicht kann man ja die Gerade und Deine Parabel in einem Koordinatensystem bringen, die 2 Schnittpunkte betrachten, möglicherweise ist einer der beiden das gesuchte Optimum.


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Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 20.06.2017 - 16:25
Leider ist mir bei der "Geraden" ein Fehler unterlaufen, weil sie ja gar nicht auf die y-Achse trifft, denn bei einem Preis von 0€ auf der x-Achse würden unendlich viele Gäste kommen, der Erlös wäre trotzdem 0. Also handelt es sich um eine Strecke, die bei einem Wert f(x) = 700 abrupt beginnt, und dann bei f(x) = 0 irgendwo auf die x-Achse trifft und dort endet! Die Besucheranzahl kann nicht negativ werden. Es handelt sich um eine Strecke, die abfällt, also mit negativer Steigung.


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Antwort von ichsdeh | 20.06.2017 - 16:28
Also, mein derzeitiger Stand der Dinge schaut so aus:

Ich habe die Funktion für die Besucherzahl in Abhängigkeit vom Preis aufgestellt.
Sie schaut so aus:

f(x)= -65x + 667,5

Jetzt wollte ich gerade damit beginnen, die Funktion für Erlös und Eintrittspreis zu berechnen. Bin ich auf dem richtigen Weg?


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Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 20.06.2017 - 17:08
Ja , ich denke schon. Die Erlösfunktion ist ja das Produkt aus der Besucheranzahl mal dem Eintrittspreis. Eintrittspreis ist x. Besucheranzahl ist f(x) = -65x + 667,5.
Also Erlös = x (-65x +667,5) also -65x² + 667,5x... wäre dann wohl Deine Parabel. Dann das Maximum bestimmen.


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Antwort von ichsdeh | 20.06.2017 - 17:10
Vielen Vielen Dank!


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Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 20.06.2017 - 18:06
Dann bitte die 1. Ableitung als notwendige Bedingung = 0 setzen.
-130 x + 667,5 = 0 ⇔ 667,5 = 130 x ⇔ x = 5,13462€.
Durch Einsetzen ergibt sich eine Besucheranzahl von 333,75 und ein Erlös von sage und schreibe 1713,6808€,
genau 87 cent mehr als bei Deiner ersten Lösung. Du solltest also ein paar Leute mehr reinlassen. Richtige Lösung wäre wohl 334 Gäste. Diese Menge liegt auch innerhalb des Definitionsbereiches zwischen 0 und maximal 700, also 0≤f(x)≥700.
f(x) war unsere Besucherfunktion.


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Antwort von ichsdeh | 20.06.2017 - 18:56
Hab ich dann auch rausbekommen, super :)

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