Logarithmusfunktion Ableiten

Hallo! Ich bin derzeit am Üben für mein Mathe-Abi im März. Dabei bin ich auf folgendes Problem gestoßen :

Folgende Funktion ist gegeben: f (x)= x^2 * ln (2x)
Die ableitung ist gesucht

Ich hab angefangen mit Produktregel abzuleiten :
U*v` + u`*v (= f (x) ) 

Dabei ergab sich folgendes für mich:
f`(x) = 2x*ln (2x) + x^2*(1/2)*x also : f (x) = 2x*ln(2x) + x/2

In den Lösungen steht aber folgende Ableitung:
F`(x) = 2x* ln (2x) + x^2*(1/2x)*2 also: f (x)= 2x*ln (2x) + x

Ich finde meinen Denk- bzw. Rechenfehler nicht und wäre dankbar für jede Hilfe. Mein Verdacht ist, dass der letzte Teil nochmal mit Kettenregel abgeleitet wurde, konnte mir aber nicht erklären wieso und stehe hier nun vor einem Rätsel. 

Danke schonmal im Voraus für die Hilfe! :)