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Differentialgleichungen

Frage: Differentialgleichungen
(3 Antworten)


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Zeigen Sie, dass die folgenden Differentialgleichungen 1.Ordnung exakt sind und

bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen

1)(1+x)y`+y=1

2)(2xy-x)dx+x^2*dy=0

zu1)Ich habe es schon tausend mal versucht und komme nicht drauf also ich habe es so gemacht.

(1+x)y`+(y-1)=0

y`+(y-1)/(1+x)=0

g(x;y)=y-1
h(x;y)=1+x

Prüfen ob sie exakt sind
d/dy = y-1=1
d/dx = 1+x=1 d.h exakt.

F(x;y) Int g(x)dx+Phie(y)=yx-x+c
F(x;y) Int h(x)dy+Phsie(x)=y+xy+c

ist das soweit richtig ich komme hier nicht weiter :(
Frage von Claudius_ (ehem. Mitglied) | am 24.06.2013 - 22:10


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Beiträge 3320
20		 Antwort von shiZZle | 25.06.2013 - 00:09
Schau dir die definition einer exakten DGL an. Wenn deine DGL die Kriterien erfüllt, hast du gezeigt, dass es exakt ist.


Nun zum lösen der DGL:

1) Durch geschicktes umformen ist dies leicht zu lösen:

y`/(1-y) = 1/(x+1)

natürlich musst du Singularitäten mit in Betracht ziehen. Aber sonst kann man das sehr einfach lösen.

2) Leider sehr schlechte notation. Kann nicht genau erkennen, was du da genau meinst


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14		 Antwort von Claudius_ (ehem. Mitglied) | 27.06.2013 - 17:43
Ach so , hab das hin bekommen danke :D

also noch mal ne kurze frage schau mal hier

Die folgende Differentialgleichung 1. Ordnung ist nicht exakt (Nachweis führen).Sie lassen sich aber durch einen nur von der Variablen x abhängigen integrierenden Faktor (Phie=Phie(x))in eine exakte Differentialgleichung überführen. Bestimmen Sie diesen Faktor und lösen Sie anschließend die Differentialgleichung

(1+x^2)y`=2xy-(1+x^2)^2

hier fällt mir das trennen schon schwer wie kann ich das trennen , sollte ich die klammer erst auflösen ? kannst du hier helfen bitte ;)


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Beiträge 3320
20		 Antwort von shiZZle | 27.06.2013 - 20:55
Den Nachweis kannst du selber führen. Die DGL kann man folgenderweise umschreiben:

y` -2xy/(x^2+1) = -x^2 -1 wobei du wieder die Singularität betrachten musst bzw. erstmal rausnehmen solltest.

Nun ist also dein Problemfaktor k(x)= -2x/(x^2+1)

Multipliziere deinen Term mit: u(x) = e^(Int k(x) dx)

Rest solltest du selber machen.

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