Mathematik Aufgabe mit Quadratzahlen
Frage: Mathematik Aufgabe mit Quadratzahlen(9 Antworten)
Hallo,. Ich komme nicht weiter und benötige Hilfe bei einer Aufgabe. Es sei n eine Natürliche Zahl. Beweisen Sie: Wenn sich die Zahl n + 1 sowohl als Summe zweier aufeinander folgender Quadratzahlen als auch als Summe einer Quadratzahl und dem Doppelten der Nachfolgenden Quaderatzahl schreiben lässt, dann sind die Zahlen 2 n + 1 und 3 n + 1 Quadratzahlen. Antwort Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n n•(n + 1) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = ——————————— 2 Eine Quadratzahl ist eine Zahl welche durch Multiplikation einer natürlichen Zahl (ganze Zahl) mit sich selbst entsteht. Gerade Zahlen ergeben gerade Quadratzahlen und ungerade Zahlen ergeben ungerader Quadratzahlen. 1² = 1 | 2² = 4 | 3² = 9 | 4² = 16 | 5² = 25 | 6² = 36 | 7² = 49 8² = 64 | 9² = 81 | 10² = 100 | 11² = 121 | 12² = 144 | 13² = 169 | 14² = 196 | 15² = 225 | 16² = 256 | 17² = 289 | 18² = 324 | 19² = 361 | 20² = 400 | 21² = 441 | 22² = 484 | 23² = 529 | 24² = 576 | 25² = 625 | 26² = 676 | 27² = 729 | 28² = 784 | 29² = 841 | 30² = 900 | 31² = 961 | 32² = 1024 | 33² = 1089 | 34² = 1156 | 35² = 1225 | 36² = 1296 | 37² = 1369 | 38² = 1444 | 39² = 1521 | 40² = 1600 | 41² = 1681 | 42² = 1764 | 43² = 1849 | 44² = 1936 | 45² = 2025 | 46² = 2116 | 47² = 2209 | 48² = 2304 | 49² = 2401 | 50² = 2500 | 51² = 2601 | 52² = 2704 | 53² = 2809 | 54² = 2916 | 55² = 3025 | 56² = 3136 | 57² = 3249 | 58² = 3364 | 59² = 3481 | 60² = 3600 | 61² = 3721 | 62² = 3844 | 63² = 3969 | 64² = 4096 | 65² = 4225 | 66² = 4356 | 67² = 4489 | 68² = 4624 | 69² = 4761 | 70² = 4900 | 71² = 5041 | 72² = 5184 | 73² = 5329 | 74² = 5476 | 75² = 5625 | 76² = 5776 | 77² = 5929 | 78² = 6084 | 79² = 6241 | 80² = 6400 | 81² = 6561 | 82² = 6724 | 83² = 6889 | 84² = 7056 | 85² = 7225 | 86² = 7396 | 87² = 7569 | 88² = 7744 | 89² = 7921 | 90² = 8100 | 91² = 8281 | 92² = 8464 | 93² = 8649 | 94² = 8836 | 95² = 9025 | 96² = 9216 | 97² = 9409 | 98² = 9604 | 99² = 9801 | 100² = 10000 Summe zweier aufeinander folgender Quadratzahlen 9 + 16 = 25 Summe 25 ist die Quadratzahl von 5 Dann ist n + 1 = 25 Die natürliche Zahl lautet 24. Dann sind 2 n + 1 = 49 49 ist die Quadratzahl von 7 Das funktioniert aber mit 3 n + 1 nicht mehr! Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg? Danke an die, die mir helfen |
| Frage von *Nessie* (ehem. Mitglied) | am 30.08.2012 - 15:05 |
| Antwort von Lukas_Jochum (ehem. Mitglied) | 30.08.2012 - 22:35 |
| Antwort von v_love | 30.08.2012 - 23:26 |
das bringt natürlich sehr viel ... (zumal das auch nicht ganz richtig ist)  "Das funktioniert aber mit 3 n + 1 nicht mehr!" muss ja auch nicht - laut aussage. insofern kein widerspruch. "Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?" ich sehe keinen weg bei dir, tut mir leid. erstmal ein paar allgemeine sachen: die aussage im satz hat die form A^B -->C^D, wobei A,B,C,D aussagen sind. A,B sind existenzaussagen, für ganze zahlen m, m`, daraus müsstest du die existenz weiterer ganzen zahlen N=N(m,m`), N`=N`(m,m`) zeigen. hier bist du in der glücklichen situation, dass die aussagen entkoppeln, N, N` hängen dann jeweils nur von einer größe ab, genauer reicht es zu zeigen: A-->C, B-->D (A: n+1 lässt sich als summe zweier aufeinanderfolgender QZ schreiben, C: 2n+1 ist eine quadratzahl, B: n+1 lässt sich als summe einer QZ und dem doppelten der nachfolgenden QZ schreiben, D: 3n+1 ist eine QZ) das daraus die behauptete aussage A^B -->C^D folgt kannst du dir selber formal überlegen. nun, die beweise für A-->C, B-->D sind recht elementar, funktioniert etwa so: weil A gilt ex. ein m aus Z, sodass m²+(m+1)²=n+1, dann ist (wenn du das nicht direkt sehen solltest, kannst du ausmultiplizieren, dann siehst du, dass das stimmt) 2n+1=(2m+1)²=N² mit 2m+1=:N aus Z, also gilt C. analog funktioniert B-->D (N`=3m`+2 tut´s) |
| Antwort von *Nessie* (ehem. Mitglied) | 31.08.2012 - 07:59 |
Danke für die Antwort, aber ich habe mittlerweile eine Antwort ermittelt! Die müsste jetzt richtig sein. n=40, n+1=41, 4^2+5^2=16+25=41, 3^2+2x4^2=9+32=41, 2x40+1=81=9^2, 3x40+1=121=11^2 Die gesuchte Zahl lautet 40 |
| Antwort von Lukas_Jochum (ehem. Mitglied) | 31.08.2012 - 15:52 |
Das ist genau das, was ich Dir oben hingeschrieben habe. |
| Antwort von v_love | 31.08.2012 - 23:25 |
"Danke für die Antwort, aber ich habe mittlerweile eine Antwort ermittelt!" die antwort auf welche frage? "Die gesuchte Zahl lautet 40" es ist - laut obiger aufgabe - keine zahl gesucht. (davon abgesehen, gibt es unendlich viele solche zahlen, wächst etwa mit 100^k, die nächste zahl wäre also ~40000) entweder du hast eine andere aufgabe vor dir liegen oder du hast diese aufgabe völlig falsch verstanden. |
| Antwort von *Nessie* (ehem. Mitglied) | 01.09.2012 - 07:41 |
Ich habe es falsch formuliert. n = 40 n + 1 = 41, 4² + 5² = 16 + 25 = 41, 3² + 2 x 4² = 9 + 32 = 41, 2 x 40 + 1 = 81 = 9² 3 x 40 + 1 = 121 = 11² Sonit ist bewiesen, dass n eine natürliche Zahl ist. |
| Antwort von v_love | 01.09.2012 - 23:51 |
das war auch nicht zu zeigen; n ist n.V. eine natürliche zahl. |
| Antwort von Astrofan (ehem. Mitglied) | 22.09.2012 - 10:32 |
Zitat: Aeh... Hallo^^ Ich habe gerade ein aehnliches Problem mit Beweisen. Koennte nochmal jemand erklaeren, warum nur A->C und B->D bewiesen werden muss, wie das v_love erklaert hat...? Bitte...?:-) Vielen Dank schonmal:-):-):-) |
| Antwort von v_love | 23.09.2012 - 00:54 |
keine ahnung, was du für ein problem hast, ich kann nur über das hier zu zeigende sagen. hier ist es nunmal so, dass man folgendes verwenden kann: aus A -->C und B-->D folgt: A^B-->C^D, wie bereits erwähnt. dass dem so ist, kann man sich mit wahrheitstafeln überlegen oder man wendet einbisschen boolsche algebra an, dafür ist es sinnvoll die implikationen als disjunktionen zu schreiben, dann muss man nur ein paar regeln der boolschen algebra anwenden, wie z.b. das distributivgesetz. |
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