Exponentialfunktionen

ja, danke!^^

aber ich müsste das auch ohne Taschenrechner berechnen können, also per Hand!

was du nicht sagst ...


zunächst: wenn die ableitung f`(x)=2e^(2x) lautet, ist es klar, dass die funktion keine extremstellen besitzt. wenn nicht explizit dabei steht, dass du beweisen sollst, dass e^(2x)=0 keine lösung hat, musst du nichts weiter zeigen!

formal kann man das wie folgt zeigen:
man führt exp(x) als umkehrfunktion des ln ein. ln(x) definiert man via ln(x):=int_{1}^{x} dx`/x`, x>0.
damit ist klar, dass ln(x) streng monoton steigend ist (wegen monotonie von int und 1/x>0 für alle x>0)
mit ln(x) ist aber auch exp(x) streng monoton steigend (umkehrfunktionen von streng monoton steigenden funktionen sind selber streng monoton steigend)
dies zeigt bereits exp(x)>=0 für alle x (wegen monotoniesatz).
angenommen es gibt nun ein x0 aus R mit exp(x0)=0, dann ist wegen der strengen monotonie exp(x)<0 für x<x0, ein widerspruch zu exp(x)>=0.
insgesamt also exp(x)>0 für alle x aus R.

wie gesagt wird das nicht von dir verlangt: du weißt wie exp aussieht und siehst exp(x)>0, also kannst du das auch verwenden (wenn nicht explizit dabei steht, dass man es nachweisen soll)