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Koordinatentransformation

Frage: Koordinatentransformation
(22 Antworten)


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Hallo alle zusammen ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.


Die lineare Funktion g : R3 pfeil R3 sei durch die Darstellungsmatrix


A= ( 2 1 0 )
1 3 -1
1 1 1

bezüglich der Standardbasis e1 = ( 1 , 0 , 0

e2 = ( 0 , 1 ,
e3= ( 0 , 0 , 1
gegeben.

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix
von g bezüglich der Basis.

Für hilfe wäre ich sehr dankbar.
Frage von Chaz21 (ehem. Mitglied) | am 02.06.2011 - 18:59


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Antwort von v_love | 02.06.2011 - 19:06
keine ahnung, was die basis sein soll, aber bestimme einfach die basiswechselmatrix (von neuen basis zur kan.
basis), und die inverse dazu, dann musst du nur noch die matrizen multiplizieren:
B`_A_B`=B`_id_B*B_A_B*B_id_B`

darstellungen ist natürlich nicht so toll, ist aber hoffentlich klar, was ich meine.


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 02.06.2011 - 19:13
Oh tschuldigung habs vergessen zu posten.


f1 = ( 1 , -1 , -1) f2= ( 1 0 1)

f3= ( 1 1 1 )

Aber du musst mir bitte wenn es geht genau erklären was ich als erstes machen muss.
Habe von diesem Thema nicht viel ahnung.


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Antwort von v_love | 02.06.2011 - 19:17
die basiswechselmatrix B_id_B` (B "neue" basis) ist
1 1 1
-1 0 1
-1 1 1

(durch ablesen), das nun invertieren, und matrizen in richtiger reihenfolge (siehe erster post) multiplizieren.


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 02.06.2011 - 19:20
Kannst du mir bitte zuerst einmal erklären wie du auf diese matrix gekommen bist

1 1 1
-1 0 1
-1 1 1


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Antwort von v_love | 02.06.2011 - 19:22
wie gesagt ist das einfach ablesen.
wenn ich die matrix auf die kan. basisvektoren anwenden, kriege ich grade die spaltenvektoren (neuen basisvektoren zur basis B`), das ist ja das schöne an der kan. basis.


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 02.06.2011 - 19:29
Wie invertiert man das jetzt ?


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Antwort von v_love | 02.06.2011 - 19:32
ich würds so machen:

seien y aus R³ beliebig

A=
1 1 1
-1 0 1
-1 1 1

dann löse Ax=y, ausgeschrieben:
x1+x2+x3=y1
-x1+x3=y2
-x1+x2+x3=y3


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 02.06.2011 - 20:27
Was müsste ich aber als nächstes machen ?


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 02.06.2011 - 22:33
kann mir bitte jemand helfen


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Antwort von v_love | 02.06.2011 - 22:34
Ax=y lösen, wie das geht sollte eigentlich klar sein.

z.b.
x1+x2+x3=y1
-x1+x3=y2
-x1+x2+x3=y3

umformen zu:
2x2+2x3=y1+y3
x2+2x3=y1+y2

und daraus folgt sofort: x2=y3-y2

damit hast du schon die zweite zeile von (B_id_B`)^-1.
durch einsetzen in x2+2x3=y1+y2 erhälst du die dritte zeile und durch einsetzen von x2(y1,y2,y3)=x2, x3=x3(y1,y2,y3) in x1+x2+x3=y1 die erste.


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 02.06.2011 - 22:39
Hallo vlovve
Ich verstehe nicht wie du auf das hier kommst

umformen zu:
2x2+2x3=y1+y3
x2+2x3=y1+y2


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Antwort von v_love | 02.06.2011 - 22:45
1.gleichung+3.
1.+2.


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 02.06.2011 - 22:53
Hab hier den gau jordan algorithmus angewendet und diese inverse matrix gekriegt

(1 0 0 )
0 1 0
0 0 1


1/2 0 -1/2
0 -1 1
1/2 1 -1/2

Aber ich weiß nicht was ich weiter machen soll?


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Antwort von v_love | 02.06.2011 - 22:59
ok, ist sogar richtig, und jetzt multiplizieren: "B`_A_B`=B`_id_B*B_A_B*B_id_B`"


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 02.06.2011 - 23:01
Aber was ist hier jetzt mein B und A?


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Antwort von v_love | 02.06.2011 - 23:04
B_A_B=A (die notation ist hier etwas unglücklich, das eine A ist die matrix der linearen abbildung, das andere A ist die lineare abbildung, die oft mit einem skript A (oder auch einem alpha) notiert wird)

und B`_id_B, B_id_B` sind die basis-trafo matrizen, die du bestimmt hast.


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 02.06.2011 - 23:15
Aber was ist hier jetzt mein B und A?


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Antwort von v_love | 02.06.2011 - 23:18
A steht oben, und B={e1,e2,e3}


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 02.06.2011 - 23:26
1/2 0 -1/2
0 -1 1
1/2 1 -1

Ist das mein A ?


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Antwort von v_love | 02.06.2011 - 23:27
nein, A steht doch schon in der aufgabenstellung. wieso sollte ich dann die matrix auch A nennen ...

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