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Skalarprodukt

Frage: Skalarprodukt
(10 Antworten)


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Folgende Aufgabe:


Zeigen Sie, daß die Abbildung R³ × R³ -> R, gegeben durch
das Skalarprodukt von x und y := 2x1y1 − x1y2 + 2x1y3 + 4x2y2 − x2y1 + 4x3y3 + 2x3y1


ein Skalarprodukt ist.

Wie mach ich das? Ich habe es so versucht:
ich bild das Skalarprodunkt von x und y und setze das gleich und forme um und erhalte:

0 = x1(y1-y2+2y3)+x2(3y2-y1)+x3(3y3+2y1)
aber ich weiß nich wies weiter geht...
Frage von Dschoardsch | am 17.02.2011 - 18:30

 
Antwort von GAST | 17.02.2011 - 18:33
du setzt es gleich was?


und was soll − sein?


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Antwort von Dschoardsch | 17.02.2011 - 18:37
oh mist...fehler beim schreiben:

Zeigen Sie, daß die Abbildung R³ × R³ -> R, gegeben durch
das Skalarprodukt von x und y := 2x1y1-x1y2+2x1y3+4x2y2-x2y1+4x3y3+2x3y1

so..na ich berechne das skalarprodukt der vektoren x und y als x1y1+x2y2+x3y3 und setze in die gleichung dort oben ein und fasse zusammen oder wie mache ich das?

 
Antwort von GAST | 17.02.2011 - 18:42
"na ich berechne das skalarprodukt der vektoren x und y als x1y1+x2y2+x3y3"

nein, das ist das kanonische SKP, das du hier nicht brauchst.

üblicherweise schreibt man <x|y> für das SKP von x und y (bra-ket-notation), an die schreibweise werde ich mich im folgenden halten.

es ist zu zeigen:
-SKP ist symmetrisch: <x|y>=<y|x>, vertausche also x und y.
-SKP ist billinear, dafür musst du nur <r*x|y>=r*<x|y> und <x+y|z>=<x|z>+<y|z>
-SKP ist positiv definit, d.h. <x|x> >=0, und aus <x|x>=0 folgt x=0.
natürlich für alle x,y,z aus R³, r aus R.


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Antwort von Dschoardsch | 17.02.2011 - 18:56
oh..ok..danke erstmal=)

mit der symmetrie bekomm ich das hin, und mit dem ersten teil der bilinearität auch...
aber wo bekomme ich das z her? als intelligente null? und wenn ja, wie wähle ich die?

 
Antwort von GAST | 17.02.2011 - 18:58
z=(z1|z2|z3) aus R³, und dann wendest du das distributivgesetz in R an.
(hast dann z.b. 2(x1+z1)y1, vektoren werden schließlich komponentenweise addiert)


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Antwort von Dschoardsch | 17.02.2011 - 19:10
aahhh jetz ist alles klar..dickes danke=)

noch eine letzte frage:
ich muss noch die länge des Länge (1,0,1) bzgl. dieses SKP berechnen.

wie mach ich das? normalerweise wäre die länge doch einfach sqrt2 !?

 
Antwort von GAST | 17.02.2011 - 19:11
was ist schon normal ...

das SKP induziert eine norm in folgender weise: ||x||=sqrt(<x|x>), wobei <x|x> du aus der def. von <.|.> abliest.


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Antwort von Dschoardsch | 17.02.2011 - 19:19
ok...ich weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe..:

ich habe sqrt10 LE raus..ist das korrekt?

 
Antwort von GAST | 17.02.2011 - 19:24
ich komme jedenfalls auf dasselbe.


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Antwort von Dschoardsch | 17.02.2011 - 19:38
cool..super:D

danke dir!=)

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