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Monotonie und Extremstellen bei Funktionen

Frage: Monotonie und Extremstellen bei Funktionen
(5 Antworten)


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Hey Leute ... habe einen Graphen gegeben ( Normalparabel , nach unten geöffnet ). Dies ist der Graph der "Ableitungsfunktion f`" !

Mithilfe Dessen soll ich nun Aussagen hinsichtlich Monotonie und Extremstellen bei der "Funktion f" machen.

Wie funktioniert das?

Und wie komme ich an den Graphen von f und f`` ?

Danke für eure Hilfe :P
Frage von Streber16 (ehem. Mitglied) | am 08.02.2011 - 14:04


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Antwort von John_Connor | 08.02.2011 - 14:12
f` und f`` zeichnest du genauso wie deine Ausgangsfunktion f:
Wertetabelle oder skizzenartig durch markante Stellen wie Nullstellen,
Y-Achsenabschnitt oder Extremstellen

Die Ableitung hat eine Nullstelle da, wo die Ausgangsfunktion eine Extremstelle hat.
--> Für die Extrema musst du f`(x) gleich Null setzen und nach x auflösen.
Für die hinreichende Bedingung musst du diese Extremstelle dann in f`` einsetzen.
Ist das dann negativ, dann ist es ein Hochpunkt und ist es positiv, dann ist es ein Tiefpunkt.

Monotonieverhalten ändert sich ab jeder Extremstelle. Links von einem Tiefpunkt ist f monoton fallend, rechts davon monoton steigend.
Bei einem Hochpunkt ist es andersrum.
Verdeutliche dir das am besten an einer Zeichnung.



[Quelle: http://www.mathe-online.at/mathint/diff1/grafiken/monotonie.gif]


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Antwort von Streber16 (ehem. Mitglied) | 08.02.2011 - 14:23
okay das habe ich soweit verstanden ..
jetzt habe ich nur den graphen von f` und ich habe keine funktion gegeben ..

wie komme ich denn jetzt an die funktion f ?


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Antwort von Franky1971 | 08.02.2011 - 14:46
schau Dir mal dieses Beispiel an, dann verstehst Du sehr schnell, wie die Zusammenhänge sind:


Quelle: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/234013,0.html


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Antwort von Streber16 (ehem. Mitglied) | 08.02.2011 - 17:17
gegeben ist der graph der ableitungsfunktion f` einer Funktion f.

a) welche aussagen kannst du über die funktion f hinsichtlich monotonie und extremstellen machen?

wie geht man daran? ich habe doch keine funktion vorliegen , nur den graphen..


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Antwort von umut92 (ehem. Mitglied) | 08.02.2011 - 17:35
Du untersuchst die Monotonie anhand der ersten Ableitung. Wenn die Ableitungswerte einer Funktion in einem bestimmten Intervall größer als 0 ist, dann sagt man: Diese Funktion ist im Intervall [a;b] monoton steigend. Wenn f`(x)<0 ist, dann ist f in dem entsprechenden Intervall monoton fallend.

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle: f`(x)=0

das heißt: die nullstellen der ableitungsfunktion sind die möglichen extremstellen.

hinreichende bedingung für extremstelle:

Vorzeichenwechselkriterium

wenn du sieht, dass die Ableitungsfunktion an der möglichen kritischen Stelle VZ wechselt, dann ist die Stelle genau eine Extremstelle. Also gilt:

f`(x+h) und f`(x-h) haben verschiedene VZ. (h>0, ganz kleine zahl)

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