h-Methode: Erste Ableitung bestimmen

und die lautet :

berechnen sie mit hilfe der h-methode über den grenzwert des differenzquotienten die erste ableitung der funktion f(x)= e^x (natürliche exponentialfunktion)

das kann man ja auch nicht zeigen.

relativ simpler beweis über die definition der exp-funktion:

e^h=1+h/1+h²/2+h³/6+h^4/24+... (kommen immer höhere potenzen von h)

nun ziehen wir 1 ab:
e^h-1=h+h²/2+h³/6+h^4/24+...

und durch h dividiert:

(e^h-1)/h=1+h/2+h²/6+h³/24+...

nun grenzwert betrachten.

geht noch ein wenig einfacher, allerdings habt ihr das wahrscheinlich das nicht gemacht, weil der beweis dafür recht schwierig ist und die kenntnis des mittelwertsatzes (normalerweise) voraussetzt. deshalb wäre es nicht sinnvoll wenn ich den hier vorgestellte.

dafür aber hier noch der gängige schulbeweis:

man substituiert u:=e^h-1, dann ist h=ln(u+1)
für h-->0 geht u-->e^0-1=1-1=0

lim(h-->0)[e^h-1]/h=lim(u-->0) u/[ln(u+1)=lim(u-->0) 1/[ln(u+1)^(1/u)]=1/ln(e)=1/1=1

da nach definition e=lim(u-->0)[u+1]^(1/u)

ich finde allerdings den beweis etwas komplizierter.

dafür lässt sich aber so einfacher der grenzwert für (a^h-1)/h für h-->0 und ein positives a finden.