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Schule > Mathematik > Algebra und Funktionen > Zahlengruppen und Zahlenmengen

Zahlengruppen

Eine Gruppe besteht aus:
- Menge G
- Operation *
- Ausgezeichnetes Element e ((G)

Für Gruppen gelten die folgenden Gesetze:

(x*y)*z = x*(y*z) Assoziativgesetz

e*x = x*e= x Neutrales Element

x*y = e Inverses Element

Bei einer abelschen Gruppe gilt auch noch das Kommutativgesetz:

x*y = y*x Kommutativgesetz

Wenn G eine endliche Menge ist, so wird die Anzahl Elemente /G/ die Ordnung der Gruppe G genannt.

Die verschiedenen Zahlenmengen:

= Menge der natürlichen Zahlen ohne Null (1,2,3 etc.)

= Menge der ganzen Zahlen (2,1, 0, -1, -2 etc.)

Q = Menge der rationalen Zahlen (plus Brüche)

= Menge der reellen Zahlen (endlich oder unendliche Dezimalzahlen Bsp. sin82 )

Betrachtet man die Zahlenmengen Q* (ohne Null) und R* (ohne Null) so bilden sie zusammen mit der Multiplikation eine multiplikative Gruppe auch Einheitengruppe genannt. ACHTUNG: Alle Produkte der Multiplikation müssen wieder in Q bzw. R drin sein.

Symmetriegruppen

Die längenerhaltenden Abbildungen (Isometrien) einer Figur, weöche die Figur auf sich selbst abbilden, die Figur als Ganzes unverändert lassen, nennt man Symmetrieabbildungen. Es kann bewiesen werden, dass jede Isometrie eine Spiegelung, Translation oder Gleitspiegelung ist. Wenn man zwei Abbildungen nacheinander aus, bleibt die Figur also als Ganzes erhalten. Man erhält also eine Symmetrieabbildung.

Das bedeutet, dass durch das Hintereinander Ausführen zweier Symmetrieabbildungen g und f auf der Menge S der Symmetrieabbildung einer ebenen Figur, eine Verkettung zustande kommt.

h = g f ACHTUNG: Immer zuerst das Hintere ausführen und dann das Vordere.

Die Elemente einer Symmetriegruppe werden mit Dn bezeichnet.

Die Menge aller Vertauschungen (Permutationen) bezeichnet man mit Sn. (Symmetrische Gruppe von Index n)

Sn hat ein neutrales Element: Die Identität ist eine Permutation, welche alle Elemente am Platz lässt.

Bsp. S4 enthält alle 24 Permutationen einer 4-elementigen Menge.

Die Elemente einer symmetrischen Gruppe sind auf numerierten Plätzen angeordnet. Nach der Vertauschung nehmen sie andere Plätze ein:

Bsp.

1 2 3 4 Gelesen wird es dann: Das erste Element, geht an den zweiten Platz.

2 3 1 4 Das zweite Element geht an den dritten Platz, etc.

Gruppentafeln

Ist (G, *,e) eine endliche Gruppe, so nennt man die Operationstafel der Operation * Gruppentafel der Gruppe G.

Bsp.

Addition modulo 4

(Z4, +, 0)

0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 Abelsche Gruppe? x*y = y*x ? JA denn 0+1 = 1+0!

Zn ist die Menge aller Restklassen der ganzes Zahlen bei Division durch n (N. Man schreibt Z = (0, 1, 2,......., n-1 )

Für jede natürliche Zahl n ist (Z, +, 0) eine abelsche Gruppe. Man nennt sie zyklische Gruppe der Ordnung n.

Wird Zn (Bsp. Z5) so geschrieben, gebraucht man die Operation Addition. Sonst muss es angegeben werden.

Für welche n(N ist (Zn*, 1) eine Gruppe?

Restklassen sind nur dann Gruppen, wenn n= Primzahl.

Wenn eine Gruppe (G, *, e)in sich noch eine andere Gruppe hat, nennt man diese eine Untergruppe ( U, *, e) der Gruppe G. Jede Untergruppe muss also das Element e enthalten und die gleiche Grundoperation haben, sowie zu jedem x dessen inverses Element x-1 enthalten. Die Untergruppen (G) und (e) kann man immer finden.

Die Ordnung der Untergruppe (Un) von Gn, ist ein Teiler der Ordnung von G. Wenn a ein Element der Gruppe G, so ist die Menge Ua =(e, a, a a, a a a.........) eine Untergruppe von G, die von a erzeugt wurde.

Ist G eine endliche Gruppe, so nennt man die Ordnung der Untergruppe Ua die Ordnung des Elementes a in G. Ist Ua = G so ist a ein erzeugendes Element der Gruppe G und die Gruppe ist zyklisch.

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