Mathematik Abiturprüfung 1987 Stochastik

Hallo Community,
hab für Montag seit gestern ein Referat vorzubereiten.
Es handelt sich dabei um die Leistungskurs Abiturprüfung aus dem Fach Mathematik aus dem Jahr 1987 zu lösen. Blicke aber mal wieder einfach nicht durch diese Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Hoffe, dass sich vielleicht ein paar Leute melden, um wenigstens einen Teil der Aufgaben zu lösen. Wäre auch mit dem Ansatz und dem Vorgehen zufrieden. Müsst also nicht unbedingt rechnen wenn ihr wollt. Hinweise zum Vorgehen zur Lösungsfindung reichen auch vollkommen aus ;)
Wichtig sind mir nicht unbedingt die genauen Ergebnisse sondern ehr die Wege, über die ihr die Lösung findet.

PS: Vielleicht hat noch jemand von euch die Prüfungen in einem Sammelband von Stark? Wenn ja würde ich mich über ein gescannte Version der Lösungen sehr freuen. Zur Information: Ich gehe davon aus, dass es sich bei den Aufgaben um welche aus BAyern oder BWB handelt.


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Leistungskurs Mathematik: Abiturprüfung 1987 Stochastikteil
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Aufgabe 1:
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Auf dem Weg zur Arbeitsstätte hat ein Autofahrer 2 Verkehrsampeln und dann einen Bahnübergang zu passieren. Unabhänig voneinander hat er an den Ampeln mit je 30 %, am BAhnübergang mit 90 % Wahrscheinlichkeit freie Fahrt. An jeder Ampel muß er mit 40 % Wahrscheinlichkeit nur 1 Minute, mit 30 % Wahrscheinlichkeit 2 Minuten warten; am Bahnübergang hat er mit 10 % Wahrscheinlichkeit eine Wartezeit von 3 Minuten.

a) Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsgrößen X(Index 1):= Wartezeit an der Ampel i (i= 1;2) und Y:= Wartezeit am Bahnübergang, und berechnen Sie damit den Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße Z:= Gesamtwartezeit.

b) Mit welcher (bedingten) Wahrscheinlichkeit ist die Wartezeit an Ampeln und Bahnübergang zusammen mindestens 5 Minuten, wenn der Autofahrer an der ersten Ampel 2 Minuten warten muß?

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Aufgabe 2:
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Auf dem Weg von der Wohnung zu seiner Arbeitsstätte hat ein anderer Autofahrer insgesamt 15 Ampeln zu passieren, die unabhänig voneinander geschaltet sind. Erfahrungsgemäß kann er jede Ampel mit 30 % Wahrscheinlichkeit ohne Wartezeit passieren. Ansonsten muss er mit einer mittleren Wartezeit von 1 Minute pro Ampel rechnen.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt frühstens die 6. Ampel Rot?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht er auf einer Fahrt mehr als die Hälfte der Ampeln bei Gründ und kann diese also ohne Verzögerung passieren?

c) Im Jahr fährt er 230 mal von der Wohnung zur Arbeitstätte. Bestimmen Sie mit der Tschebyschow Ungleichung ein möglichst kleines Intervall symmetrisch zum Erwartungswert, in dem die Gesamte Wartezeit G vor den Ampeln pro JAhr bei seinen Fahrten zur Arbeitstätte mit mindestens 90 % Sicherheit liegt!

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Aufgabe 3:
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Eine umfangreiche Auswertung von Fahrzeiten von der Wohnung zur Arbeitstätte hat ergeben, dass die Zufallsgröße T:= Fahrzeit normalverteilt ist mit Erwartungswert 30 Minuten und Standardabweichung 4,75 Minuten.

a) Als "normal" soll eine Fahrt gelten, wenn die Fahrzeit um höchstens 6 Minuten vom Erwartungswert abweicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann eine beliebig herausgegriffene Fahrt "normal"? Mit wievielen "normalen" Fahrten kann man bei 230 Fahrten pro JAhr rechnen?

b) Welche Fahrzeit t(index 0) muß der Autofahrer ansetzen, damit die Wahrscheinlichkeit für die Fahrzeit, die länger als
t(index 0) ist, nur 1/230 beträgt, d.h., dass er im Mittel pro JAhr einmal zu spät zur Arbeit kommt.

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Aufgabe 4:
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Ein Autofahrer behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der er zu spät zur Arbeit kommt, höchstens 1 % beträgt. Kann er mit einem Signifikanzniveau von 5 % seine Behauptung noch aufrechterhalten, wenn er bei den letzten 150 Fahrten 4 mal zu spät gekommen ist? Formulieren Sie mit der Hilfe der Poisson Näherung eine Entscheidungsregel und wenden Sie diese an.