Übungen zu e^(x) und ln

uiui.. da stellst du aber fragen.. lang lang ists her...

also ich erinnere mich dunkel,
dass ich mal herleiten musste, wie man exponentialfunktionen ableitet und dass danach die frage kam, wie die eulersche zahl sein muss, wenn die ableitung gleich der funktion sein soll..

wenn du weißt, dass die ableitung der e-funktion immer noch die e-funktion ist, dann hast du die stammfunktion ja automatisch.


wie ging das jetzt mit der herleitung für die ableitung von exponentialfunktionen.

man fängt an mit irgendeiner exponentialfunktion f(x)=b^x

bestimmung der steigung an der stelle x1 mit dem differenzenquotienten (f(a+h)-f(a))/h:

fŽ(x1)=lim(h->0) (f(x1+h)-f(x1))/h=lim(h->0) (b^(x1+h)-b^x1)/h
(schreib das mal auf einen großen bruchstrich, dann sieht man es besser. du kannst b^x1 ausklammern und vor den bruch stellen:
fŽ(x1)=lim(h->0) b^x1* (b^h-1)/h

dann kann man das b^x1 noch vor den limes ziehen und bekommt raus

fŽ(x1)=b^x1 * lim(h->0) (b^h-1)/h

hm, ist jetzt erstmal der allgemeine weg bis hierhin.. den grenzwert kannst du zb näherungsweise bestimmen durch ausprobieren. man sieht aber auch, wenn x1=0 ist, dass dann b^x1=1 wird. also ist fŽ(0)=lim(h->0) (b^h-1)/h und damit ist fŽ(x1)=b^x1*f`(0)

jetzt hast du schonmal ne allgemeine ableitung für exponentialfunktionen..

aber die nächsten schritte sind:

man sieht ja schon, dass die ableitung einer exponentialfunktion wieder eine exponentialfunktion ist.

wie man den grenzwert berechnen kann, weiß ich gerad nicht. kann sein, dass es eine möglichkeit gibt, aber ich bin gerad nicht ganz sicher. ist auch erstmal egal, denn wir wissen ja, dass dieser grenzwert die steigung der tangente im punkt (0,1) wiedergibt. für b>1 muss diese steigung zwangsläufig größer als 0 sein und für 0<b<1 muss die steigung kleiner als 0 sein. das kann man auch irgendwie formal beweisen mit vollständigkeitseigenschaften der reellen zahlen oder so. aber das hab ich bisher noch nicht machen dürfen/müssen.

anschaulich ist klar, dass es genau eine zahl b geben muss, bei der dieser grenzwert 1 wird. und genau dieses b ist die eulersche zahl e. usw... brauchste noch ne herleitung für die zahl? wenn man schon weiß, dass es die zahl gibt und dass sie diese eigenschaften hat, dann ist man jetzt so weit, dass man weiß für f(x)=e^x gild fŽ(x)=e^x*1=e^x und dann weiß man ebenso, dass die stammfunktionen von f(x)=e^x F(x)=e^x+C sein müssen..


reicht das erstmal?

achsoooo... lol...

und ich mach mir extra die mühe.. ich dachte, du wolltest wissen, wie man die aufleitung von e-funktionen entwickelt.. ^^