Haskell: Implementierung α- und β-Konversion Lam..

Gegeben sei ein algebraischer Datentyp LExpr zur Darstellung von Ausdrücken
des λ-Kalküls ohne Konstanten.

data LExpr = Var String -- Variable
| App LExpr LExpr -- Funktionsapplikation
| Lam String LExpr -- Lambda-Abstraktion
deriving (Eq, Show)

Mit diesem lassen sich λ-Ausdrücke in Haskell darstellen.

1.
Schreiben Sie eine Funktion

free :: LExpr -> [String]

welche die freien Vorkommen von Variablen eines Ausdrucks berechnet.

free :: LExpr ->[String]
free (Var x) = [x]
free (App e e`) = free e ++ free e`
free (Lam x e) = filter (/= x) $ free e

2. Schreiben Sie nun eine Funktion

bound :: LExpr ->[String]

welche die gebundenen Vorkommen von Variablen eines Ausdrucks berechnet.

bound :: LExpr ->[String]
bound (Var x) =[]
bound (App e e`) = bound e ++ bound e`
bound (Lam x e) = (filter (== x) $ variables e) ++ bound e
where variables (Var x) =[x]
variables (Lam x e) = variables e
variables (App e e`) = variables e ++ variables e`

3. Um α -Konversion durchführen zu können, müssen neue Variablennamen eingeführt werden.

Schreiben Sie dazu eine Funktion

newVar :: [String] -> String

die eine Liste von nicht erlaubten Variablennamen als Parameter nimmt und einen neuen Variablennamen zurückgibt, der unterschiedlich zu allen gegebenen Namen ist.

4. Schreiben Sie nun unter Verwendung von newVar eine Funktion

subst :: LExpr -> String -> LExpr -> LExpr

sodass subst m x e die Substitution e [ x ← m ] implementiert

Ich habe Probleme beim Implementieren der Funktionen newVar und subst.
Kann mir vielleicht jemand hier im Forum helfen?