Quantoren und Implikation

Sei X eine nichtleere Menge und seien A(a),B(x) Assagen mit x∈X. Bestimmen Sie, ob die folgenden Assagen wahr oder falsch sind, und geben Sie einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an:


a) (∀x∈X)(A(x)→B(x))→(∀x∈X)( A(x)∧B(x)↔A(x))

b) (∀x∈X)(A(x)→(∀x∈X)(B(x))→(∀x∈X)(A(x)→B(x))

c) (∃x∈X)(A(x)→(∀y∈X)(A(y))

Hinweis: Teilen Sie das Problem in zwei Fälle auf, nämlich (∀y∈X)A(y)gilt bzw. (∀y∈X)A(y)gilt nicht.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Ahnung wie man diese Aufgabe Lösen und Beweisen kann.

Was ich ausprobiert war folgendes:

a) (∀x∈X)A(x)→(∀x∈X)B(x) .....

Also ich habe versucht es zu teilen. Ich denke a) ist wahr, weil in meinem Skript steht folgendes:

Die Allaussage “(∀n ∈ N)A(n)” besagt, dass A(n) für alle natürlichen Zahlen
n wahr ist.

Die Existenzaussage “(∃n ∈ N)A(n)” besagt, dass A(n) für mindestens eine natürliche Zahl
n wahr ist;

Wie soll ich das Beweisen? Leider habe ich im Internet nur Beispiele mit Zahlen gefunden.