L`hospital: Regel von L`Hôpital anwenden ?

Falsch abgeleitet und den Faktor 1/3 nicht rausgeholt, dein Schritt war daher unnötig.

Du hast sozusagen:

lim x --> 0 ln(1+x^3) / 3x^3.

Denn du kannst die 1/3 im Zähler runterholen in den Nenner und somit hast du statt x^3 --> 3x^3.

Dann kannst du den Faktor 1/3 rausziehen und hast somit:

= 1/3 ( lim x->0 ln(1+x^3) / x^3 )

Nun kommt l`Hospital:

lim x--> 0 ln(1+x^3) / x^3 = lim x--> 0 dln ( x^3+1 )/dx/dx^3/dx

und das ist wiederum nichts anderes als:

1/3 ( lim x--> 0 1 / 1+x^3 ) / 1/3 reinmuliplizieren

= 1 / 3 (lim x--> 0 (1+x^3) )

Die Grenze eines Quotients ist:

lim x--> a f(x) / g(x) = lim x-->a f(x) / lim x-->a g(x)

Die Grenze von 1+x^3, da x sich 0 nähert, ist somit 1. Die Grenze eines Konstaten ist der Konstant selbst.

Daher ist das Ergebnis 1/3.