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Logarithmusaufgaben

Frage: Logarithmusaufgaben
(24 Antworten)


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Hi.

wär cool, wenn mir einer die Lösungsweg der folgenden zwei Aufgaben möglichst ausführlich erklären könnte.

a) Berechnen Sie log3(81)
=> Wenn ich das in den Taschenrechner eingeb, kommt ja schon 4.
Habe hier als Lösungsweg (log10(81))/(log10(3))=1,9085/0,4771=4,0002. Was soll das bedeuten?
Hatte Logarithmen nie in der Schule. Brauchs jetzt fürs Studium und es wird als Grundwissen vorausgesetzt. Das war nur so ne schnelle Wiederholung.
Wär cool, wenn mri dazu gleich jemand erklären könnte, wozu Logarithmen da sind? Hab noch irgendwas in Erinnerung mit Gegenteil der e-Funktion und unter bestimmten Umständen lässt sich damit x auflösen?!

b) Umformen und Vereinfachen des folgenden Terms: ln(x^5)-4lnx+ln(1/x)
Lösung ist dann lnx^5-lnx^4+lnx^-1 = ln((x^5*x^-1)/x^4) = ln (x^4/x^4)=ln(1)=0
joa. Da blicke ich gar nicht durch ^^

danke
Frage von donytoni (ehem. Mitglied) | am 18.06.2011 - 20:58


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Antwort von Maia_eats_u (ehem. Mitglied) | 18.06.2011 - 21:23
Du kannst den Logarithmus z.B. bei folgender Formel anwenden:

B(t)=B(0)*q^t

B(t) --> Kapital in Abhängigkeit von t
t --> Zeit
B(0) --> Startkapital
q --> Wachstums- bzw. Verminderungsfaktor

Stell dir vor du hast legst ein Starkapital von 100Euro bei der Bank an. Der Zinssatz beträgt 1,2% pro Jahr. Nach einigen Jahren willst du 200Euro auf dem Konto haben,
ohne etwas dazu zu zahlen. Mit der oben genannten Formal kannst du jetzt ausrechnen, wie lange es dauert, bis du die 200Euro hast.

Hier die Rechnung:
B(t)=B(0)*q^t

200=100*1,012^t

[So kommst du auf den richtigen Wert für q:
Du gehst davon aus, dass q erstmal 100% ist. Dann kannst du entweder dazurechnen, oder abziehen (kommt darauf an, ob du Geld bekommst oder verlierst). Also 100%+1,2%=101,2%. Da du das aber in der Formel nicht in Prozent schreiben kannst, musst du es umformen und das Ergebnis ist eben 1,012.]

Die Formel löst du jetzt einfach nach t auf.
Ich zeigs dir mal:
200=100*1,012^t [/100]
2=1,012^t [log1,012()]
log1,012(2)=log1,012(1,012^t) [log1,012(1,012^t)=t]
log1,012(2)=t
58,108=t

Also dauert es ca. 58 Jahre bis dein Kapital von 100Euro auf 200Euro angestiegen ist.

Hoffe das hilft dir weiter. :)

Gruß
Maia


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 18.06.2011 - 21:40
okay. Also löst man Variabeln mit log auf, wenn die Variabel im Exponent steht? Wenn ich jetzt zB bei einer Gleich 5=2^x stehen hätte, ist x=log2(5)? Ich kann in meinen Taschenrechner nur log(x) eingeben und nicht logx(x)?
Also der Logarithmus da oben ist der dekadische (lgx?)? und wozu brauch ich den naturalis und dualis?
und bitte noch auf die anderen Fragen besonders auf b) eingehen, das ist am wichtigsten..


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Antwort von Maia_eats_u (ehem. Mitglied) | 18.06.2011 - 21:43
Äh... Nein. Nicht ganz. Ich zeigs dir nochmal:

5=2^x [log2()]
log2(5)=log2(2^x) [log2(2^x)=x]
log2(5)=x
2,322=x

Vestanden?


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 18.06.2011 - 22:15
joo sag ich ja. Hab nur diesen Zwsichenschritt den ich ich nicht ganz check nicht aufgeschrieben?! Der ist ja wahrscheinlich auch nicht wirklich relevant, wenn man weiß wies geht.

Aber dann erklär halt mal die Zwischenschritte. Die sind nicht gerade eindeutig. Also erst multiplizierst du dich Gleichung mit log2(). Dann hast du log2(5)=log2(2^x). Und was soll das dann bei dir hinterm Kommandostrich heißen? [log2(2^x)=x] Das macht irgendwie keinen Sinn (aus meiner Sicht)

Egal ich lass die Zeile aus. Bin im Studium, glaub nicht, dass sich der Prof dafür so sehr interessiert. Wär cool, wenn du odder jemand anders mir b) erklären könntes und evtl a) aber wichtiger ist b)!


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Antwort von Maia_eats_u (ehem. Mitglied) | 18.06.2011 - 22:24
ganz einfach:

log2(2)=1
das kannst du weglassen.
statt log2(2^x) schreibst du also einfach x.


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 18.06.2011 - 22:31
also im Prinzip das, was ich vor der großen Verwirrung geschrieben hatte :P nix für ungut.

Ne Idee zu b)?


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Antwort von Maia_eats_u (ehem. Mitglied) | 18.06.2011 - 22:34
ne, absolut nicht. tut mir leid...


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 18.06.2011 - 22:37
kein Ding. Danke für die Bemühungen :)


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Antwort von 0_0 | 18.06.2011 - 22:42
das sind einfach nur logarithmus- und potenzgesetze.

ln(a)+ln(b)=ln(a*b)
ln(a)-ln(b)=ln(a/b)
x^a * x^b = x^(a+b)


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 18.06.2011 - 22:58
öhm ^^

wär cool, wenn du den Schritt

von
lnx^5-lnx^4+lnx^-1

auf
ln((x^5*x^-1)/x^4

erklären könntes


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Antwort von v_love | 18.06.2011 - 23:34
wende

"ln(a)+ln(b)=ln(a*b)
ln(a)-ln(b)=ln(a/b)"

mit passenden a,b auf deinen term an.
also u.a. a=x^5, b=x^4, ist nur einsetzen.

und log_2(2^x)=x macht übrigens sehr wohl sinn, weil log_2 die umkehrfunktion von 2^x ist, d.h. wenn du die beiden funktionen verkettest, muss gerade die identität rauskommen.


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 18.06.2011 - 23:50
naja ich beschränk ich mich bei Mathe lieber aufs nötigste :D

mhh also sollte man zuerst ln(x^5)-ln(x^4) zusammenfassen was dann ln((x^5/x^4)) ist? Und wieso kann man dann ln(x^-1) einfach in den Zähler multiplizieren? (ich kanns auch einfach so hinnehmen:P)


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Antwort von v_love | 19.06.2011 - 00:06
ln(a*b)=ln(a)+ln(b) mit a=x^5/x^4 und b=x^-1 anwenden.


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 19.06.2011 - 00:10
wäre nett, wenn du mir dann noch den Umformungsschritt erklären könntest:

lgx=2+lg4
=>
x=10^(2+lg4)


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 19.06.2011 - 00:13
oh :-D das eben war wieder so ne unnötige Frage.


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 19.06.2011 - 12:42
ich meinte damit nicht die Umformung hier:


lgx=2+lg4
=>
x=10^(2+lg4)


wär nett, wenn das jemand erklären könnte^^


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Antwort von v_love | 19.06.2011 - 13:45
10^auf beiden seiten anwenden (ist eine äquivalenzumformung) und dabei 10^lg(x)=x beachten.


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 19.06.2011 - 18:17
ahjaaa.. und was müsste da hinter dem Kommandostrich stehen? Und wie lässt sich der Schritt mit mehr (aber auch nicht zu vielen) Worten als Äquivalenzumformung erklären? (warum 10^..)


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Antwort von v_love | 19.06.2011 - 19:11
kommandostrich?

du meinst 10^...?

ich wende einfach die funktion f: R-->R+, x-->10^x auf beide seiten der gleichung an, damit erhält man f(lg(x))=f(2+lg(4)) bzw. 10^(lg(x))=10^(2+lg(4))

eine äqivalenzumformung ist es deshalb, weil f streng monoton (steigend) ist, und man wenden genau diese funktion an (und nicht etwa eine andere), weil f umkehrfunktion von lg ist (du deshalb die lösung direkt erhälst)


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Antwort von donytoni (ehem. Mitglied) | 19.06.2011 - 19:57
diss mich nicht :P

ich bin zu ungebildet für diese wissenschaftlichen Mathematikerklärungen.

Wenn ich zB x+2=5 habe, dann schreibe ich
x+2=5 |-2
<=>x=3
"|" ist der Kommandostrich. Nenn es wie du willst.

Ich verzichte dann auf die eigentliche Erklärung, aber ich hätte gern gewusst, was du dann (auch wenn es evtl. nicht notwendig sein sollte) hinter den "Strich" schreiben würdest bei der ersten Zeile um zur zweiten zu kommen.

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