Darf der Besitzer Sachen verleihen?

Nein.
Allein B müsste schon in der Auto-Versicherung eingetragen sein.

wie ist person B in den besitz gekommen?
leihgabe, diebstahl, ...?

der unterschied eigentum/besitz macht sich ja auch beim mietvertrag bemerkbar, hier darf der besitzer (der mieter!) die wohnung nicht weitervermieten (laut gängigen mietverträgen).

bei wikipedia gefunden:

Zitat:
Erhaltungsfunktion
Einführendes Beispiel ist, dass der Besitz eines Mieters von Wohnraum auch bei Veräußerung des Grundstückes geschützt wird, § 566 BGB. "Kauf bricht nicht Miete." - Der Gesetzgeber hat in bestimmten Fällen das Interesse des Besitzers als besonders schützenswert erachtet, so dass der Besitz möglichst lange seinem Vermögen zugeordnet werden soll. Eine zu der Regelung des § 566 stehende ähnliche Rechtsnorm ist der § 986 Abs. 2 BGB. Hier kann der Besitzer einer Sache, die nach § 929 Satz 1, § 931 BGB veräußert wurde, sein Besitzrecht auch dem neuen Eigentümer entgegenhalten. Beispiel: Ein Student leiht einem Kommilitonen ein Fachbuch, für die Zeit von drei Monaten zur Examensvorbereitung. Während dieser Zeit verkauft der Student das Buch an einen Dritten und übereignet es dadurch, dass er sich mit dem Dritten über den Eigentumsübergang einigt und dem Dritten den Herausgabeanspruch gegen seinen Kommilitonen aus der Leihe abtritt (Übergabesurrogat, s.o.! § 929 Satz 1, § 931 BGB). Hier kann der Kommilitone auch dem Dritten sein Recht zum Besitz aus der Leihe entgegenhalten. Auch beachtlich ist das so genannte Ablösungsrecht des § 268 Abs. 1 BGB, durch das z.B. der Mieter eine Sache, bei drohender Zwangsvollstreckung, den Besitz dadurch weiter erhalten kann, indem er den Gläubiger befriedigt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Besitz_%28Deutschland%29