gemeinsame Lotes von g und h

und wie wird das berechnet?

hattest du schon das kreuzprodukt?
Egal du musst einen normalenvektor bestimmen der senkrecht zu g und h ist, dann berechnest du den schnittpunkt des normalenvektors mit g und erhälts G , analog auch h

"dann berechnest du den schnittpunkt des normalenvektors mit g und erhälts G..."

um gottes willen.
ein vektor ist ein abstarktes mathematisches Objekt, der schneidet gar nichts.

Gemeinsame Senkrechte heißt ja, dass sie senkrecht zu g und zu h ist, also einen Vektor n derart bestimmen, dass n*v=0 und n*u=0 (u,v sollen Rihtungsvektoren der Geraden sein)
du erhälst dabei ein unterbestimmtes LGS.
Kannst dann n1=1 definieren z.b. und nach n2 und n3 auflösen.

n ist der Richtungsvektor des Lotes.
Dann nimmst du die Hesse-Form mit Normalenvektor n/|n| und Stützvektor q (stützvektor von h)
Dann hat ein Punkt von g (nämlich G), den schon vorher ausgerechneten Abstand d zur genannten Ebene bzw. zu h.
Also (p+rv-q)*n0=d nach r auflösen und in Geradengleichung einsetzen.

Selbe kannst du mit H machen, oder du nimmst dann G als stützvektor des Lots und schneides das Lot mit h