Wärmelehre

Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Berechnung im Gebiet der Wärmelehre:

In 40 kg Wasser mit 283 Kelvin werden 5 kg Eis von 255 Kelvin gegeben.
Dazu werden 2 kg Wasserdampf von 373 Kelvin eingeleitet.
Welche Temperatur stellt sich nach dem Vermischen ein? (Das Gefäß spielt hierbei keine Rolle)

Mein Ansatz:
Q=m*c*(T_end-T_anf)
Q=Wärmemenge in kJ
m=Masse in kg
c=spezifische Wärmekapazität in kJ/kg*K

geg:
m_Wasser=40 kg
c_Wasser =4,19 kJ/kg*K
T_Wasser =283 K

m_Eis=5 kg
c_Eis=2,1 kJ/kg*K
T_Eis=255 K
q_Eis=335 kJ/kg

m_Dampf=2 kg
c_Dampf=2,1 kJ/kg*K
T_Dampf=373 K
r_Dampf=2260 kJ/kg

ges: Temperatur der Mischung T_Misch2

1. Schritt: Q_ab =Q_zu Wasser gibt Wärmeenergie ab und die Temperatur sinkt, Eis nimmt diese Energie auf, erwärmt sich und schmilzt.
Q_ab(Wasser)=m_Wasser * c_Wasser * (T_wasser-T_Misch) - (Wasser abkühlen auf T_Misch)
Q_zu(Eis)= m_Eis * c_Eis * (273K - T_Eis) + q_Eis * m_Eis + m_Eis * c_Wasser * (T_Misch-273K) - (Eis auf 273 K erwärmen, schmelzen und auf T_Misch erwärmen)

da Q_ab = Q_zu
m_Wasser * c_Wasser * (T_wasser -T_Misch )=m_Eis * c_Eis * (273K - T_Eis ) + q_Eis * m_Eis + m_Eis * c_Wasser * (T_Misch -273K)

Wenn nach T_Misch umgestellt, müsste die Temperatur der Mischung Wasser/Eis vorliegen. Mit der neuen Masse m_Eis/Wasser und c_Wasser würde ich nun weiterrechen.

2.Schritt:
geg:
m_Eis/Wasser = 45kg
c_Wasser = 4,19 kJ/kg*K
T_Misch = ?

Q_ab=Q_zu Dampf kondensiert und kühlt sich ab, Wasser mit Temperatur T_Misch nimmt Wärmeenergie auf und erwärmt sich.

Q_{zu(Wasser/Eis)}=m_Eis/Wasser * c_Wasser * (T_Misch2 - T_Misch1) - Wasser durch Dampf auf T_Misch2 erwärmen
Q_ab(Dampf)=m_Dampf * r_Dampf + m_Dampf * c_Wasser * (T_Dampf - T_Misch2) - Dampf kondensiert und kühlt auf T_Misch2 ab.

da Q_ab=Q_zu

m_Eis/Wasser * c_Wasser * (T_Misch - T_Misch2) = m_Dampf * r_Dampf + m_Dampf * c_Wasser * (T_Dampf - T_Misch2)

T_Misch in dieses Verhältnis eingesetzt müsste die oben gesuchte Temperatur T_Misch2 ergeben, die entsteht, wenn in Wasser Eis und Dampf eingeleitet werden.

Doch nun zu meinen Fragen:

1. Ist dieser Ansatz richtig?
2. Wenn ja, wie stelle ich die Gleichungen nach T_Misch bzw. T_Misch2 um? Da mir dieses nicht gelang, konnte ich meinen Ansatz nicht überprüfen.

Im Voraus schon mal vielen Dank.