Logarithmusgleichungen

Moin, hoffe es ist noch nicht ganz zu spät.
Eine rein algebraische Lösung scheint mir hier nicht möglich.
Ich habe daher auf das Näherungsverfahren nach Newton zurückgegriffen.
Dabei wird von einem "Startpunkt" x_n ausgegangen, diesen wählt man am besten schon in der Gegend der gesuchten Nullstelle.
Hier sieht man, dass der Partialbruch rechts nie größer als 1 werden kann, somit muss der Wert des ln iwo im kleinen negativen Bereich liegen um in der Summe Null zu erhalten. Das ist der Fall für relativ kleine x-Werte. Habe daher x_n=0 als Startpunkt gewählt. Es gehen aber wahrscheinlich auch die meisten anderen Startwerte.

So. Die Formel zum Newtonschen Näherungsverfahren lautet: x_n+1 = x_n - f(x_n) / f`(x_n)

x_n+1 ist immer der nächst genauere Wert, hier ist f(x) = ln(2x+3)+2x/(2x+3)

Dann muss noch die Ableitung f`(x) gebildet werden. Da kommt dann
f`(x) = 2/(2x+3) + 6/(2x+3)² raus.

Jetzt geht die Rechnerei los..
Du musst jedes mal die Funktionswerte berechnen und dann einsetzen.
Fürs erste also f(0)=ln(2*0+3)+2*0/(2*0+3)=ln(3) und
f`(0)=2/(0+3) + 6/(0+3)²= 2/3 + 6/9 =4/3

In die Formel von oben eingesetzt gibt das dann x₁ = 0 - ln(3)/(4/3).
Ran an den Taschenrechner! Der sagt x₁ = -0,82.
Der Wert ist noch ungenau. Also wiederholt man das Ganze und berechnet nun ein x₂ indem man den eben erhaltenen Wert x₁ wieder in die Formel einsetzt.
Es ergibt sich x₂=-0,63, x₃=-0,576, x₄=-0,573, x₅=-0,5727. Wie man sieht nähert man sich relativ schnell einer guten Näherung. Mit einer Tabelle oder einem guten Taschenrechner, kann man auch relativ schnell auf die Werte kommen und muss nicht jedes Mal neu tippen ;)

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