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Integrale

Frage: Integrale
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Wie geh ich an so eine Aufgabe ran: http://img62.imageshack.us/img62/2204/prhe.png

So eine Beschreibung in einzelnen Schritten wäre super.

Danke.
Frage von Philwest23 | am 02.09.2013 - 18:06


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Antwort von Lukas_Jochum (ehem. Mitglied) | 02.09.2013 - 20:36
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Antwort von Ace86 | 02.09.2013 - 22:00
Eine Vorgehensweise könnte diese sein:
a) f(x) und g(x) bestimmen
b) h(x) = f(x) - g(x) (um die Differenzfläche ermitteln zu können ohne zweimal integrieren zu müssen)
c) Fläche von h(x) ermitteln
d) Die Fläche multipliziert mit der Länge der Halle ergibt den absoluten Flächenzuwachs

zu a) Aufstellen der Gleichungen anhand der Funktion g(x):
Die allgemeine Gleichung lautet y = ax^2+bx+c oder in der Scheitelpunktform y = a(x-d)^2 + c

Als Ausgangspunkt nehme ich die Normalparabel y=x^2. Diese muss nun umgeformt werden, so dass sie die Form des Daches nachbildet. Hierfür verwende ich die Scheitelpunktform.
1. Verschieben der Parabel:
- der Parameter d beeinflusst die Verschiebung
- bei d > 0 wird die Parabel nach rechts verschoben, bei d < 0 nach links
- wir wollen die Parabel um 10 Einheiten nach rechts schieben, also ist d=10 und wir erhalten y = (x-10)^2

2. Öffnung nach unten
- ist a > 0 ist die Funktion nach oben geöffnet und bei a < 0 ist sie nach unten geöffnet
- da die Öffnung nach unten ist, erhalten wir y = -(x-10)^2

3. Verschiebung entlang der y-Achse
- da sich unser Dach über dem Erdboden befinden soll müssen wir es noch nach oben verschieben
- dies beeinflusst das c (positive Werte bewirken eine Verschiebung nach oben)
- das Dach hat eine Höhe von 8 Einheiten, also erhalten wir die Gleichung y = -(x-10)^2 + 8

4. Streckung entlang der y-Achse
- das Dach hat schon fast die gewünschte Form, aber es ist noch zu schmal
- die Streckung oder Stauchung wird über den Parameter a bestimmt
- ist der Betrag von a > 1 erhalten wir eine Stauchung und ist |a| < 1 (und ungleich 0) erhalten wir eine Streckung, der Betrag von a muss in unserem Beispiel also kleiner 1 sein
- das a können wir ganz einfach durch Umformung aus der Gleichung y = -a(x-10)^2 + 8 ermitteln. Für x und y müssen wir noch die Werte eines bekannten Punktes einsetzen, z.B. P(0|0)
- somit erhalten wir 0 = -a(0-10)^2 + 8 und nach einer Umformung a = 0,08
- die Gleichung lautet somit g(x) = -0,08(x-10)^2 + 8 bzw. nach Umformung g(x) = -0,08x^2 + 1,6x

Anschließend geht es weiter mit den Punkt b) bis d) von oben


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Antwort von shiZZle | 02.09.2013 - 22:48
Ich Frage mich gerade ob es nicht einfacher geht.

Die beiden Funktionen sind halb Ellipsen, wobei die obere Funktion gerade ein Kreis ist (spezialfall Ellipse für a=b)

Für die obere Ellipse in den ersten zwei Quadranten gilt: z(x) =b*sqrt(1-x^2/a^2). Weiterhin gilt für beide Funktionen a = 10. Für f(x) gilt b = 10 und für g(x) gilt b = 8. Da wir unsere Ellipsen aber nur im ersten Quadranten haben möchten, müssen wir hier x = x-10 setzen. Sodass sich folgende Funktionen für f und g ergeben:

f(x) = 10*sqrt(1-(x-10)^2/100)

g(x) =8*sqrt(1-(x-10)^2/100)

Sei h(x) = f(x)-g(x)

Dann bemerke ich aber, dass das Integral von h(x) nicht so einfach zu finden ist. Ich habs aber numerisch versucht und komme auf folgendes ergebnis:

Integral_0^20 h(x) dx = 10*pi = 31,416

Wäre schön wenn man hier mal drüber gucken könnte.


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Antwort von Ace86 | 03.09.2013 - 18:44
Das h(x) kann man zwar noch zu h(x) = 0,2 * (20x-x^2)^0.5 vereinfachen. Das resultierende Integral davon füllt aber eine ganze Zeile, weshalb ich das hier nicht hinschreibe. Ich komme aber auch auf einen Fläche von 31,416.

Wenn ich jedoch die Fläche anhand der gegebenen Funktion f(x) und g(x) (bei g(x) statt 0,08 -0,08) berechne komme ich auf eine kleinere Fläche. Das lässt darauf schließen, dass die Parabeln und die Elipsen verschiedene Flächen aufweisen. Optisch lässt sich das auch gut veranschaulichen, wenn du dir zunächst die Form der Parabeln aus der Aufgabe anschaust. Im Gegensatz dazu würde eine Elipse an den Punkten 0/0 und 20/0 Senkrecht auf die y-Achse treffen. Die beiden Punkte der Parabeln haben an diesen Stellen jedoch einen Anstieg der deutlich sichtbar von 90° abweicht. Aus diesem Grund hat die Elipse auch eine größere Fläche.

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