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Anfangswertproblem - Vergleichen von Lösungen

Frage: Anfangswertproblem - Vergleichen von Lösungen
(7 Antworten)


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AWP:


u`(t) = e^(u(t)) +t^2
u(0)= 0

a) Vergleichen sie die Lösung u mit einem geschickt gewählten AWP, dass man lösen kann um zu zeigen: existiert ein T+ aus R mit lim t->T+ u(t) = unendlich


Naja vergleichen ist nie wirklich meine Stärke ^^, aber hier mal meine versuche:

z`(t) = t^2 -> z(t) = 1/2t^3 , z(1) = 1/3

u(1) > 1/3 -> u`(1) > e^(1/3) + 1 > 1+t^2

k`(t) = 1+k(t)^2

=> k(t) = tan(t+c)

Ist das bis hier hin denn akzeptabel?
Frage von shiZZle | am 24.10.2012 - 19:40


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Antwort von v_love | 24.10.2012 - 23:12
"z`(t) = t^2 -> z(t) = 1/2t^3 , z(1) = 1/3"


die schlussfolgerung stimmt natürlich nicht

"u(1) > 1/3"

mag sein, ist zu begründen.

"e^(1/3) + 1 > 1+t^2"

für nicht zu große oder kleine t vielleicht ...

und überhaupt: wohin soll das führen?

was ich mir gedacht habe, ist die AWA z(0)=0, z`(t)=e^(z(t)) zu betrachten, wenn u eine lösung der urpsurünglichen AWA ist und z eine lösung dieser AWA ist, dann gilt u(t)>=z(t) für t aus [0,epsilon), epsilon>0 existiert nach picard, aus monotoniegründen.
und für z existiert ein solches T+ ...


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Antwort von shiZZle | 24.10.2012 - 23:19
Dann müsste aber T+ <1 sein stimmts?


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Antwort von v_love | 24.10.2012 - 23:22
wieso?


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Antwort von shiZZle | 24.10.2012 - 23:36
Zitat:
er Große Satz von Picard besagt, dass eine holomorphe Funktion mit einer wesentlichen Singularität in jeder noch so kleinen Umgebung dieser Singularität jeden komplexen Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt


Haben den Satz leider noch nicht gehabt. Versuche ihn gerade zu verstehen. Und nach meinem Verständnis, liegt doch die Singularität bei 0. Also liegt doch unser T+ irgendwo zwischen:

0<T+<epsilon Oder verstehe ich das jetzt falsch?

Naja und mein epsilon muss ja möglichst klein gewählt werden.

Naja das z(t) = - ln(-c-t) da z(0) = 0 => z(t) = -ln(1-t)

Naja und da kann mein t doch nicht größer als 1 werden.


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Antwort von v_love | 24.10.2012 - 23:42
"Haben den Satz leider noch nicht gehabt. Versuche ihn gerade zu verstehen. Und nach meinem Verständnis, liegt doch die Singularität bei 0."

bei 0? da haben wir doch unsere anfangsbed.

"0<T+<epsilon Oder verstehe ich das jetzt falsch?"

ne, epsilon<=T+ (falls ein solches T+ existiert)

"Naja und mein epsilon muss ja möglichst klein gewählt werden."

es kann zwar klein sein (deshalb hab ichs epsilon genannt), aber hier wäre möglichst groß besser.

"Naja und da kann mein t doch nicht größer als 1 werden."

jo.


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Antwort von shiZZle | 24.10.2012 - 23:55
Naja die Funktion z(t) geht doch für t gegen 1, unendlich und minus unendlich gegen unendlich. Für t gegen 0, läuft das Ding auch gegen 0.

Naja und bei t = 1 habe ich doch meine Def. Lücke. Also quasi eine Singularität für a = 1

lim t->a z(t) = unendlich

Hmm jetzt bin ich noch verwirrter. Dann müsste a existieren, und a = T+ = 1 ? Wow


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Antwort von v_love | 25.10.2012 - 00:14
könnte sein, ja.

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