Forum > Mathematik

Orthonormalbasen in R^n

Frage: Orthonormalbasen in R^n
(17 Antworten)

Wie viele geordnete Orthonormalbasen (bezuglich des kanonischen Skalarprodukts) gibt es in

R^n, so dass alle Eintrage der Basisvektoren ganze Zahlen sind?

Okay, mehr als ein paar Gedanken habe ich leider noch nicht:

- Einträge € Z => Beim Normieren muss unter der Wurzel eine Quadratzahl stehen
Ja, genau genommen habe ich nur einen Gedanken, aber keinen Ansatz. Könnt ihr mir nen Anstoß geben ?

Frage von TheMonotype (ehem. Mitglied) | am 24.04.2012 - 17:54

3320 20	Antwort von shiZZle \| 24.04.2012 - 18:23
	hmm gute Frage. Also ich würde mir jetzt Gedanken vielleicht drüber machen, wie die Mächtigkeiten der Mengen sind. Das wäre mein erster Ansatz. Obs was bringt, weiß ich nicht

3320 20	Antwort von shiZZle \| 26.04.2012 - 18:45
	stimmt das jetzt eigentlich?

3320 20	Antwort von shiZZle \| 26.04.2012 - 22:07
	Hab mir folgendes überlegt. Ich habe ja eine Basis mit n vielen Vektoren die je n viele Einträge haben. Quasi eine nxn Matrix. Wenn ich jedem Element eine ganze Zahl zuordnen soll, dann brauche ich quasi zxz viele.

2737 102	Antwort von v_love \| 26.04.2012 - 22:26
	es gibt also z ganze zahlen? eigentliche sollte die sache allein schon wegen der normierung klar sein.

3320 20	Antwort von shiZZle \| 26.04.2012 - 22:27
	Eigentlich gibt es unendlich viele ganze Zahlen ^^ Aber die Antwort: Unendlich viele ONB klingt komisch ^^

2737 102	Antwort von v_love \| 26.04.2012 - 22:48
	dass es unendliche viele ONB gibt, ist klar. schließlich gibt es unendlich viele orthogonale matrizen (die mächtigkeit der menge ist gleich der von R) unendlich viele ONB deren basisvektoren einträge in Z haben, gibt es ganz gewiss nicht.

3320 20	Antwort von shiZZle \| 26.04.2012 - 22:53
	Ja aber wenn es ja eigentlich nur an der Normierung liegt, dann müsste es ja die Summe aller Quadratzahlen sein.

2737 102	Antwort von v_love \| 26.04.2012 - 22:55
	nein

3320 20	Antwort von shiZZle \| 26.04.2012 - 22:58
	Nochmal von neu: Sagen wir ich habe n viele Vektoren in meiner ONB. Jeder von diesen hat n viele Elemente. Ich will jedem dieser elemente genau eine ganze Zahl zuordnen. Dann brauche ich n² viele ganze Zahlen.

2737 102	Antwort von v_love \| 26.04.2012 - 23:26
	klar, die frage ist nun aber wie viele möglichkeiten es für die wahl gibt.

3320 20	Antwort von shiZZle \| 26.04.2012 - 23:29
	Hab jetzt mal bisschen gerechnet. Bin auf n! gekommen. Sollte aber nicht stimmen oder?

2737 102	Antwort von v_love \| 26.04.2012 - 23:37
	eigentlich schon ...

3320 20	Antwort von shiZZle \| 26.04.2012 - 23:49
	na gott sei dank ^^

0 13	Antwort von TheMonotype (ehem. Mitglied) \| 27.04.2012 - 18:27
	und wie bist du drauf gekommen wenn ich fragen darf ? :)

3320

Antwort von shiZZle | 29.04.2012 - 20:49

habe jetzt hier mal eine Frage von einem Mitstudenten der Behauptet es wären n!*2^n Möglichkeiten, da es auf die Ordnung ankommt.

Zitat:
betrachte mal den raum , ehm die basen, von r^2

das sind {(1,0),(0,1)} {(0,1),(1,0)},{(-1,0),(0,-1)} {(0,-1),(-1,0)}{(1,0),(0,-1)}{(-1,0),(0,1)} und 2 die mir gerade nicht einfallen du musst ja {(|1|,0), (0,|1|)} betrachten. Es kommt ja auf die Ordnung der Basen an.

Irgendwie ist das Falsch. Ich vermute, gerade wegen der Ordnung ist das Falsch.

3320

Antwort von shiZZle | 29.04.2012 - 20:59

Zitat:
nein ist es ja nicht. aber überleg mal wie viele Anordnungen du hast
wie rechnen: Wir haben n! in R^2 also 2! = 2 schauen wir obs stimmt
sei z eine ganze Zahl
mein Vektor sieht so aus:
{(t,s),(k,p)} also meine Basis
nur ein element muss belegt werden, rest null
beim ersten vektor (t,s) habe ich 2 Möglichkeiten mein z zu setzen, bei t oder s
setze ich es auf t, dann sieht mein Vektor so aus (z,0) setze ich es auf s dann sieht der so aus (0,tz)
(0,z)
aber setze ich ihn auf t so darf er nicht mehr auf k sondern muss auf p
setze ich ihn auf s so muss er auf k und nicht auf p
also habe ich wie gesagt nur 2 Möglichkeiten gehabt
in r^3 wird das etwas schwieriger aber selbes prinzip
meine zwei Orthonormalbasen sehen also so aus: {(z1,0),(0,z2)} und {(0,z1),(z2,0)}
also ich meine das oben etwas anders mit dem sind gleich ^^
vielleicht verstehste das so besser

Könnte ich das so sagen ^^?

2737

102

Antwort von v_love | 29.04.2012 - 21:11

"nur ein element muss belegt werden, rest null"

unklar.

generell ist das etwas unüberschaubar.

wegen der normierung kommen nur vektoren in frage bei denen ein eintrag 1 ist - betragsmäßig (da habe ich nicht aufgepasst, dachte die einträge müssten in N sein). wegen paarweiser orthogonalität müssen die vektoren ihre +-1 jeweils an einer anderen stelle haben.
bis auf anordnung gibt es dafür 2^n möglichkeiten, du hast nämlich bei jedem vektor die freiheit das vorzeichen zu wählen. (sind bei jedem der vektoren 2 möglichkeiten).
und wie viele möglichkeiten der anordnung es gibt, weißt du ja.

wenn die einträge in N sein müssten, gebe es genau eine möglichkeit - ohne beachtung der ordnung; nämlich die standardbasis.

Verstoß melden

> Du befindest dich hier: Support-Forum - Mathematik

Orthonormalbasen in R^n

Frage: Orthonormalbasen in R^n(17 Antworten)

Frage: Orthonormalbasen in R^n
(17 Antworten)