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Mathe Übungsblatt

Frage: Mathe Übungsblatt
(11 Antworten)


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Zitat:
http://www.mi.uni-koeln.de/~erat/ws1112/ws11ueb11.pdf


Meine Idee:

1) Z.z.: f in 0 differenzierbar <=> Re(z)>1

"=>" da f in 0 differenzierbar => linksseitiger lim = rechtsseitiger lim

da l.lim = 0 muss auch r.lim = x^(z-1)=0

Doch weiter komme ich leider nicht.
Wieso muss jetzt Re(z)>1 sein?



2) Fallunterscheidung:

Ich habe durch Extrema und Randwertbetrachtung rausbekommen, das die Funktion mind. eine Nullstelle mit 0<a<4 hat. Doch weiß ich auch, dass z.b. für a=2 die Funktion gerade zwei Nullstellen hat. Doch wie begründe ich das rechnerisch?



3) x>0, zeige: x-x²/2< log(1+x)< x

linke Seite:

x-x²/2 < log(1+x)

Beweis:

sum(k=3 bis unendlich) (-1)^(k-1)/k * x^k > 0

sum(k=1 bis unendlich) (-1)^(k-1)/k * x^k - x + x² > 0

sum(k=1 bis unendlich) (-1)^(k-1)/k * x^k > x-x²

log(1+x)>x-x²


rechte Seite:

log(1+x)<x

Beweis:

sum(k=2 bis unendlich) x^k/k! > 0

sum(k=0 bis unendlich) x^k/k! - sum(k=0 bis 1) x^k/k! > 0

sum(k=0 bis unendlich) x^k/k! - 1 - x > 0


sum(k=0 bis unendlich) x^k/k! > 1 + x

e^x > 1+x

x > log(1+x)




Stimmt das soweit?
Frage von shiZZle | am 14.01.2012 - 20:31


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Antwort von v_love | 14.01.2012 - 22:04
1) im prinzip sieht man das schon. wenn Re(z)>1 und z aus R, dann ist der exponent positiv, also hast du konvergenz gegen 0. sonst ist der exponent negativ oder 0, also hast du keine konvergenz gegen 0.

ansonsten bekommst du noch eine phase vom imaginärteil von z rein, die tut aber nichts.

2) man könnte erst folgendes beweisen:
a ist globales maximum und a-4 ist infimum der funktion (wird nicht angenommen). ferner: str. mon steigend bis x=0 und ab x=2, str. mon. fallend sonst. und f ist stetig (-->zwischenwertsatz anwendbar)
also z.b.: für a<0 gibt es keine nullstelle, usw.

3a) was ist der konvergenzbereich der reihe?
3b) ok.


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Antwort von shiZZle | 15.01.2012 - 18:51
Hmm der konvergenzbereich der Reihe ist doch offensichtlich unendlich. Da der log für x-> unendlich auch gegen unendlich geht.


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Antwort von v_love | 16.01.2012 - 15:14
das mag sein, aber deshalb ist der konvergenzradius nicht unendlich.
wende dafür besser das quotientenkriterium an (oder die formel von hadamard)

und dann stellst du was fest?


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Antwort von shiZZle | 16.01.2012 - 18:43
Kurze nebenfrage v_love. Habe heute Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet.

Ich hatte bei einer Aufgabe Matrix A und Eigenwert 0 gegeben. Sollte nun Eigenvektor berechnen. Leider komme ich immer auf den Nullvektor. Doch der darf es doch nach Definition nicht sein. Was mache ich nun?


Zeilenvektoren von A: (0,1,1) (1,0,1) (1,1,2)


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Antwort von shiZZle | 16.01.2012 - 18:50
mein Konvergenzradius ist komisch. Komme auf 1/x o.O


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Antwort von 0_0 | 16.01.2012 - 18:52
zum EV, vmtl. wird eine zeile wegfallen -> n-r variablen frei wählbar.


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Antwort von v_love | 16.01.2012 - 18:52
"Was mache ich nun?"

rechnung überprüfen am besten.

"mein Konvergenzradius ist komisch. Komme auf 1/x"

und was soll x sein?
der konvergenzradius ist eine eindeutig bestimmte zahl oder unendlich (falls die reihe überall konvergiert).


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Antwort von shiZZle | 16.01.2012 - 19:11
Alles klar, habe den Fehler.


Nun zurück zum eigentlichen Problem. KR

es gilt doch:

r = lim n->unend. |a_n/a_(n+1)|


Also von sum(k=1 bis unendlich) (-1)^(k-1)/k * x^k folgt:


a_n = (-1)^(k-1)/k * x^k

a_n+1 = (-1)^(k)/(k+1) * x^(k+1)


| [(-1)^(k-1)/k * x^k ]/[(-1)^(k)/(k+1) * x^(k+1)] |

= | [(-1)^(k-1) * (k+1) * (x^k)] / [ (-1)^k * k *x^(k+1) ] |

Da ich hier schöne Produkte habe:

(-1)^(k-1)/(-1)^k = (-1)

x^k/x^(k+1) = 1/x

zusammenfassen:

= |-1 * (k+1)/k * 1/x |

= | -1 * (1+ 1/k) * 1/x|

= |(-1 - 1/k)/x| = |-1/x - 1/kx|


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Antwort von v_love | 16.01.2012 - 19:15
"a_n = (-1)^(k-1)/k * x^k

a_n+1 = (-1)^(k)/(k+1) * x^(k+1)"

ist falsch, da taucht überhaupt kein x auf.


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Antwort von shiZZle | 16.01.2012 - 19:17
wieso das denn? Die Summe ist doch so definiert


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Antwort von v_love | 16.01.2012 - 19:22
siehe z.b. http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

wenn du QK machst, dann kürzt sich x^n raus, es bleibt nur noch x stehen und nach diesem löst du auf, sodass du die aussage hast, dass die reihe für alle x kleiner als ... die reihe konvergiert.

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