Mathe Übungsblatt

Zitat:
http://www.mi.uni-koeln.de/~erat/ws1112/ws11ueb11.pdf

Meine Idee:

1) Z.z.: f in 0 differenzierbar <=> Re(z)>1

"=>" da f in 0 differenzierbar => linksseitiger lim = rechtsseitiger lim

da l.lim = 0 muss auch r.lim = x^(z-1)=0

Doch weiter komme ich leider nicht.
Wieso muss jetzt Re(z)>1 sein?



2) Fallunterscheidung:

Ich habe durch Extrema und Randwertbetrachtung rausbekommen, das die Funktion mind. eine Nullstelle mit 0<a<4 hat. Doch weiß ich auch, dass z.b. für a=2 die Funktion gerade zwei Nullstellen hat. Doch wie begründe ich das rechnerisch?



3) x>0, zeige: x-x²/2< log(1+x)< x

linke Seite:

x-x²/2 < log(1+x)

Beweis:

sum(k=3 bis unendlich) (-1)^(k-1)/k * x^k > 0

sum(k=1 bis unendlich) (-1)^(k-1)/k * x^k - x + x² > 0

sum(k=1 bis unendlich) (-1)^(k-1)/k * x^k > x-x²

log(1+x)>x-x²


rechte Seite:

log(1+x)<x

Beweis:

sum(k=2 bis unendlich) x^k/k! > 0

sum(k=0 bis unendlich) x^k/k! - sum(k=0 bis 1) x^k/k! > 0

sum(k=0 bis unendlich) x^k/k! - 1 - x > 0


sum(k=0 bis unendlich) x^k/k! > 1 + x

e^x > 1+x

x > log(1+x)




Stimmt das soweit?