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Beweis gesucht oder eine Idee...

Frage: Beweis gesucht oder eine Idee...
(13 Antworten)


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Jemand ne Idee, brauche das für einen Beweis, doch mir fällt bisher nichts gescheites ein:


a_k * b_k/(k!*c_k) = 1/(k+1) ergeben

mit a_n = a(a+1)*....*(a+n-1)

Jemand ne Idee?
Frage von shiZZle | am 07.12.2011 - 18:23


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Antwort von swenzel (ehem. Mitglied) | 07.12.2011 - 19:29
a_n lässt sich mit deiner Definition vereinfachen zu

(a+n-1)!/(a-1)!
eingesetzt in deine Gleichung ergiebt das
b_k*(a + k - 1)!/(c_k*k!*(a - 1)!) = 1/(k + 1)

Ob dir das hilft weiß ich aber nicht :D
Das CAS gibt mir beim Lösen der Gleichung außerdem dieses Ergebnis:
b_k*(k + 1)*(a + k - 1)! - c_k*k!*(a - 1)! = 0 ∧ c_k*(k + 1)*k!*(a - 1)! ≠ 0

Vielleicht wäre es noch schön zu wissen wie b_n und c_n definiert sind?
Wenn sie genauso wie a_n definiert sind kann man sie einsetzen und erhält
(a + k - 1)!*(b + k - 1)!*(c - 1)!/(k!*(a - 1)!*(b - 1)!*(c + k - 1)!) = 1/(k + 1)

Jetzt habe ich ein bisschen geschummelt und für k drei verschiedene Zahlen eingesetzt, nämlich 1, 2 und 3.
Mit den daraus folgenden Ergebnissen habe ich dann nach a, b und c aufgelöst und kam auf a=1, b=1 und c=2.
Rückeingesetzt in die zuletzt genannte Gleichung ergibt es laut CAS "true", was wohl bedeutet, dass die Gleichung mit a=1, b=1 und c=2 für jedes k stimmt.
Inwiefern das eine zuläsige Beweisführung ist, weiß ich aber nicht :D. Vielleicht gibt es dir ja irgendwelche Anhaltspunkte um es richtig zu machen.


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Antwort von v_love | 07.12.2011 - 21:05
beweisführung?

mit einem math. beweis hat das nun nichts zu tun.

ich nehme an, dass du A2b)iii. auf B8 lösen willst.

natürlich kann man, wenn man die sache systematisch angehen will, ein nichtlineares lgs mit 3 variablen lösen, recht aufwendig und unelegant.
einfacher ist es die lösung zu erraten (denke möglichst einfach, die lösung ist ein tripel natürlicher zahlen), dann kann man überprüfen, dass die erratene lösung zu der gewünschten reihe führt. (koeffizientenvergleich - ihr hattet vielleicht die aussage, dass {z^k}_k aus N0 eine basis im polynomenraum bilden, deshalb kann man das machen.)


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Antwort von shiZZle | 07.12.2011 - 22:14
@v_love woher weisst du das o.O?

Naja ka was dein B8 da ist, aber ich muss folgende Aufgabe 2b(iii) lösen:

http://www.mi.uni-koeln.de/~erat/ws1112/ws11ueb08.pdf


Ich will das ja auf dieses (-1)^k/(k+1) * z^k kriegen. Deshalb versuche ich Die Summe aus der Vorraussetzung so umzugestalten, dass ich gerade das herausbekomme. Ich rate ja auch ^^ nur versuche ich das eher möglichst unelegant zu machen, weil ich deinen Weg noch nicht wirklich durchblickt habe.


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Antwort von v_love | 07.12.2011 - 22:28
keine ahnung, wie du es machst, aber erst mal kannst du dir mal die summen aufschreiben:

L(z)=z-z²/2+z³/3-...

und z*F(-z)=z-(ab/c)z²+...

dann machst du, wie bereits gesagt, koeffizientenvergleich
die einfachst mögliche wahl für a,b,c führt schon zum erfolg (natürlich ist es ansichtssache, was einfachst möglich - meiner meinung nach ist es aber das naheliegendste)

man kann auch a(k)´s versuchen als fakultäten zu schreiben, so fällt das raten vielleicht etwas einfacher.


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Antwort von shiZZle | 08.12.2011 - 17:16
Ich denke mal, das sollte hinkommen:

a=1

b=1 und c= 2


Scheitere aber gerade an der 2b ii) Hab es soweit umgeschrieben, dass ich die Koeffizienten der Folge brachten kann, dennoch kriege ich es nicht hin, da das letze Glied der Folge von s mich immer wieder raushaut:

(s-k + 1) vergleichen mit (a+k-1)


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Antwort von shiZZle | 09.12.2011 - 19:39
Habe jetzt lang dran gesessen und bin auf

F-s,1,1(-z) gekommen. Dürfte richtig sein. Kannst du mir vlove mal nen Tipp fur die dritte und Zusatzaufgabe geben? Bei der drei hab ich es nun schon mit dreiecksungleichung Bernoulli Ungleichung etc. Versucht. Auch schon in Summen umgeschrieben, doch bringt mir alles nichts.


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Antwort von shiZZle | 11.12.2011 - 20:18
So die Aufgabe habe ich alle geschafft, bis auf die Aufgabe 3b)

Kriege diesen Betrag nicht aufgelöst. Jemand ne idee?


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Antwort von shiZZle | 11.12.2011 - 20:18
http://www.mi.uni-koeln.de/~erat/ws1112/ws11ueb08.pdf


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Antwort von v_love | 11.12.2011 - 21:46
betrachte |exp(z+h)-exp(z)|, ergänze dann eine 0 geschickt und wende 3a) auf w=z+h an, nutze dann die stetigkeit von |.| aus.


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Antwort von shiZZle | 11.12.2011 - 22:00
Ich wollte so vorgehen:

z.z.: für jedes epsilon>0 ex. delta>0 mit:

|u-u0|< delta => |exp(u) - exp(u0)|<epsilon

So nun habe ich ja die funktion und kann folgendes machen:

|exp(u) - exp(u0) - (u-u0)exp(u0)| <= |u - u0|² *|exp(u0)|

So, mich nervt quasi nur das - (u-u0)exp(u0) auf der linken seite und auf der rechten das |exp(u0)| Aber kriege die irgendwie nicht weggehauen, diese scheiß dinger


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Antwort von v_love | 11.12.2011 - 22:04
Zitat:
So, mich nervt quasi nur das - (u-u0)exp(u0) auf der linken seite und auf der rechten das |exp(u0)|


wie ich schon sagte:

"ergänze dann eine 0 geschickt"


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Antwort von shiZZle | 11.12.2011 - 22:33
kriege da kein geschicktes 0 hin. Aber was ist denn wenn ich u0 immer mehr gegen u streben lasse (was man machen darf, weil dadurch delta auf gegen 0 geht) dann ist die rechte seite 0 und das kleiner epsilon (für e>0 natürlich)


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Antwort von v_love | 11.12.2011 - 22:43
delta geht nicht gegen 0, " es existiert für alle epsilon>0 ein delta >0, sodass ...".
wenn du das schon so machst, solltest du es auch konsequent machen und so ein delta angeben.

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