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Vektorenberechnung lineare abhängigkeit

Frage: Vektorenberechnung lineare abhängigkeit
(13 Antworten)


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Also ich hänge grad bei meinen Hausaufgaben fest...

ich habe 3 vektoren: a1 ( 2 -1 3 ) a2 ( 1 -2 0 )
und a3 ( -2 0 0 ) und ich soll prüfen ob diese linear abhängig sind oder nicht? allerdings weiß ich schon dass sie nicht abhängig sind nur wir sollen den lösungsweg als hausaufgabe machen aber ich habe keine ahnung wie das gehen soll!
Frage von MaxBust | am 23.08.2009 - 15:46

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 15:48
lgs ra1+sa2+ta3=0 aufstellen und dann mit gauß z.b.
prüfen, ob es nur die lösung r=s=t=0 hat oder nicht.

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 15:50
Beweise einfach, dass keine wahre Aussage entsteht, wenn du jeweils die Vektoren untereinander vergleichst (`a1 = k*a2`, `a1 = k*a3`, `a2 = k*a3`)

Viele Grüße,
Nin

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 15:51
nein, das ist nicht hinreichend.

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 15:58
Wieso nicht? Das erfüllt genau den selben Zweck, ist aber wohl etwas umständlicher als deine Variante (solange man einen GTR hat), da man 3 mal ansetzen muss.

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 16:12
mal ein kleines beispiel:

man wähle die vektoren a1,a2,a3,...,an aus R^n so, dass die vektoren sich also in R^(n-1) einbetten lassen.
dann ist det (a1,...,an)=0, weil det alternierend.
somit sind a1,...,an lineaer abhängig

andererseits lassen sich in der hyperebene R^(n-1) n vektoren finden, die paarweise lineaer unabhängig sind. anschaulich gesprochen zeigen diese dann in unterschiedliche richtungen.

entgegen deiner behauptung.


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Antwort von MaxBust | 23.08.2009 - 16:14
hmm i.wie komm ich damit nich so klar was ihr da sagt.. das problem is nämlich dass wir noch nie dieses gauß dingends gemacht haben.. also wir sind ganz neu in dem thema und wir sollten uns i.wie überlegen wie man das lösen könnte
aber trotzdem danke für eure bemühungen!

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 16:16
tja, dann lass dir was kreatives einfallen

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 17:14
Tut mir leid v_love, mein Wissen geht nur ein wenig über das des Abiturs hinaus, demnach komme ich nicht ganz mit deiner Formulierung klar.

Sicher bin ich mir aber über folgendes: Ein Vektor ist dann von einem anderen liniar abhängig, wenn die Gleichung a1=k*a2 aufgeht.

Wir sprechen hier nicht davon, ob alle Vektoren in einer Ebene liegen!

Max, nutze einfach die Variante, die ich beschrieben habe, dazu braucht man keinen Gauß oder was auch immer. Sofern es kein `k` gibt dass für `x`,`y` und `z` gleichermaßen zutrifft, sind die Vektoren lliniar unabhängig, denn sie haben dann nicht die gleiche Richtung. (Orientierung, also `+` oder `-`, sprich der "Pfeil an der Geraden" (Vorsicht, umgangssprachlich) sind unwichtig, da `k` positiv oder negativ sein kann.

Um es auf den Punkt zu bringen:
Wenn a1=k*a2 ist, dann unterscheiden sich die Vektoren lediglich in Betrag und/oder Orientierung, NICHT aber in der Richtung, was die liniare Abhängigkeit ja ausmacht.

Falls ich falsch liege, was ich in diesem Falle für sehr unwahrscheinlich halte, lasse ich mich gerne korrigieren.

Viele Grüße,
Janine

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 17:30
"Wir sprechen hier nicht davon, ob alle Vektoren in einer Ebene liegen!"

ach ja?

folgender satz:

3 vektoren aus R³ sind genau dann lineaer unabhängig, wenn sie eine basis des R³ bilden. ansonsten bilden sie eine basis eines untervektorraums einer (normalen) ebene.

die dredimensionalen vektoren können in dieser ebene unterschiedliche richtungen haben, also paarweise lineaer unabhängig sein.
da sie aber in der ebene liegen, sind sie - unter anwendung des vorher genannten satzes - lineaer abhängig, und nicht wie du sagst lineaer unabhängig

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 18:33
Nun gut, die Frage ist jetzt, was wurde verlangt? Wenn sie gerade erst mit der Vektorrechnung begonnen haben, kann es sein, dass sie durchaus nur die paarweise liniare Abhängigkeit untersuchen sollen, da müsste Max jetzt mal Klarheit schaffen.
Wir könnten uns derweil mal etwas einfallen lassen, wie er es ohne Gauß und ähnlichem lösen kann.

Max, habt ihr schon mit Geraden und Ebenen gearbeitet?

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 18:38
für mich ist das eine ganz klare sache ...

sind a1,a2,a3 linear abhängig?
da steht nichts von sind a1,a2 linear abhängig? z.b.

sie haben mit sicherheit schon die definition von linearer abhängigkeit gehabt, gleichungsysteme haben sie auch schon gelöst und jetzt geht es darum einbisschen rumzuprobieren wie man das homogene system löst.

keine seltene vorgehensweise ...

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 18:41
Ok, vergess einfach alles was ich gesagt habe...

Habe eben mal einen Blick auf die Zahlen geworfen, was die Sache wesentlich vereinfacht.

Max, wenn du wie ganz am Anfang von v_love die Formel ra1+sa2+ta3=0 nimmst, ergben sich doch folgende 3 Gleichungen:

2r + s - 2t = 0
-r - 2s = 0
3r = 0

Mit diesen Gleichungen bekommst du auch alles ohne Gauß raus, da die Dreiecksform ja schon gegeben ist.

Nun gut, den Rest bekommst du mit Sicherheit auch alleine hin.

Viele Grüße,
Janine

 
Antwort von GAST | 23.08.2009 - 18:53
gauß habe ich eigentlich auch nur der vollständigkeit halber genannt, um mal ein verfahren zu nennen, mit dem man fast jedes lösbare lgs lösen kann und das auch noch relativ schnell ist.

leider wird aber viel zu oft die aufgabe zur seite gelegt und mit "kann ich nicht" abgesegnet, wenn man mal ein unbekanntes wort hört.
man könnte auch einfach mal anfangen und schauen, ob man´s lösen kann.
ich habe übrigens auf die zahlen auch nicht geguckt

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