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eigenwertproblem

Frage: eigenwertproblem
(5 Antworten)


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Falls sihc jemand damit auskennt,,,,

Ax=λx
Wobei A ne quadratische MAtrix is
x n vektor
λ eine zahl

will cihd ass jetzt lösen forme ich die gleichung jetzt um in Ax-λx= 0
soweit klar
x = Ex (E ist die einheitsmatrix..daher ändert sich ncihts..auch klar
Ax-λEx=0
(A-λE)x=0
auch noch klar jetzt kommt der knackpunkt
x darf nahc definition nicht 0 sein
also
A-λE=0...so mein logischer Schluss
Richtig ist aber det(A-λE)=0
Wohe rkommt jetzt die Determinante ins Spiel..verämndert die nicht den Wert und dahger die Äquivalenz der Gleichung!?
Bitte um Hilfe auch wenns spät is ich ,üsste des Referat bis morgen hinbekommen -.-
THX!
Frage von Billardkid | am 24.06.2009 - 02:08

 
Antwort von GAST | 24.06.2009 - 03:13
lol..ich hab keinen plan davon


aber wieso schreibstn so viele fehler^^..entweder verwechselst du die tasten oder du schreibst zu schnell und drückst in der falschen reihenfolge..ach egal^^


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Antwort von Billardkid | 24.06.2009 - 03:44
da si kein fehler..dieses blöde forum verändert nur ein symbol und gibt des asci code an
des was da immer &#955 ist ein phi


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Antwort von Billardkid | 24.06.2009 - 03:45
und ja die anderen rechtschreibfehler sind zu schnelles tippen + zu faul zum korriegieren weil zeit ist kostbar :D

 
Antwort von GAST | 24.06.2009 - 04:09
ja da hast recht zeit ist kostbar
wobei doch der schlaf auch kostbar ist und ich nun somit nach einem wirklich geilen grill- u feierabend endlich schlafen gehe und heut in 8 stunden (12uhr) ne vorlesung (was für ein stundentenleben^^) besuchen werde..naja vllt^^

 
Antwort von GAST | 24.06.2009 - 11:41
du hast doch hier keine reellen zahlen, sondern ein matrizen-vektor produkt, also kannst du den satz "ein produkt ist genau dann 0, wenn mind. einer der faktoren 0 wird" vergessen

es ist nunmal so, dass ein homogenes lgs Bx=0 genau dann unendlich viele lösungen besitzt, wenn die determinante von B identisch 0 ist.

ich will diesen satz nicht beweisen, aber die beweisidee erläutern:
wenn det(B)=0 ist, dann muss man B so in eine ähnliche matrix B* umformen können, sodass die letzte zeile von B* nur nullen enthält
der rang von B (und B*) ist also kleiner als ihre ordnung.
somit ist eine gleichung 0=0, und das gilt immer
wenn wir dann annehmen, das wir B nicht so umformen können, dass zwei zeilen nur nullen enthalten (letzte und vorletzte zeile zum bleistift), dann haben wir in den ersten n-1 zeilen praktisch n-1 linear unabhängige gleichungen (B sei o.b.d.a. eine nxn matrix)
und wir haben n variablen, also gibt es unendlich viele lösungen
nun können wir das spiel noch weiter treiben, indem wir annehmen, dass rang(B)<n-1
gut, dann können wir B mit gauß so umformen, dass eine matrix B** mehr als eine zeile mit lauter nullen hat
dann tritt eben min. zweimal 0=0 auf
die restlichen gleichungen sind wieder linear unabhängig und man hat wieder effektiv mehr variablen als gleichungen, also unendlich viele lösungen bz.w nicht nur die triviale lösung x=0
geht so weit bis wir vielleicht nur eine gleichung a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=0 (koeffizienten nicht alle 0)
im falle n=3 hätte man eine ebene durch den ursprung (wobei ursprung selber keine lösung ist, da x<>0 vorausgesetzt wird)
wenn wir dann noch sagen, dass der rang von B nicht 1, sondern 2 sein soll, hätte man zwei sich in einer geraden schneidende ebene (-->gerade ist lösung)
rang(B)=3 kann nicht vorkommen (würde drei sich in einem punkt [urpsrung] schneidende ebenen bedeuten), da dann die determinante nicht 0 wäre)

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