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Extremalrechnung

Frage: Extremalrechnung
(4 Antworten)


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Huhu,


ich versuche gerade die Aufgabe zu machen:
Ein Tunnel soll die Form eines Rechteckes mit aufgesetztem Halbkreis erhalten.Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20m betragen soll?

Hier eine Skizze davon: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/193774,0.html

Hauptbedingung:
Ages = 2rh + 1/2*pi*r²

Nebenbedingung:
20 = 2h + 2r + pi*r
[..] h = 10-1/2*pi*r-r

Zielfunktion:
A = 2r(10-1/2*pi*r-r)+ 1/2*pi*r²
[..] A = 20r-2r²-1/2*pi*r²

Ableitungsfunktion
A`(r) = 20 - 4r - pi*r
0 = 20 - 4r - pi*r |-20
-20 = -4r - pi*r
-20 = r (-4-pi) |:(-4-pi)
r = -20/(-4-pi)
r = 5/-pi

Ich wollt wissen, ob die Ableitungsfunktion bzw. die Lösung für `r` stimmt?
Wenn ja, dann wäre der nächste Schritt: `r` in die 2. Ableitungsfunktion einsetzen oder?!
Frage von LunchTime (ehem. Mitglied) | am 25.04.2009 - 15:05

 
Antwort von GAST | 25.04.2009 - 15:57
vielleicht
solltest du noch der vollständigkeit halber A an den rändern des definitionsbereiches bestimmen.

nicht, dass es noch da größer ist

 
Antwort von GAST | 25.04.2009 - 15:11
die letzte umformung stimmt nicht

kannst aber r=20/(4+pi) schreiben
ist etwas kürzer

"Wenn ja, dann wäre der nächste Schritt: `r` in die 2. Ableitungsfunktion einsetzen oder?!"

ja


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Antwort von tobi18 | 25.04.2009 - 15:23
haben zufällig genau diese aufgabe mal im unterricht gehabt
r=2,8m

das rechteck des tunnels ist 100*63,66m groß


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Antwort von LunchTime (ehem. Mitglied) | 25.04.2009 - 15:28
Aso okay.

A``(r) = -4-pi
A``(20/(4+pi)) = -4-pi = -7,14 < 0 --> HP

Und um `h` rauszubekommen hab ich `r` jetzt in die Gleichung von h eingesetzt:

h = 10-1/2*pi*r-r
h = 10-1/2*pi*(20/(4+pi))-(20/(4+pi))
h = 2,8

Vielen Dank. :)

 
Antwort von GAST | 25.04.2009 - 15:57
vielleicht
solltest du noch der vollständigkeit halber A an den rändern des definitionsbereiches bestimmen.

nicht, dass es noch da größer ist

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